Temel Tanım ve Teoremler

'Soru Cevap' forumunda Misafir tarafından 4 Şubat 2011 tarihinde açılan konu


  1. Temel Tanım ve Teoremler hakkında bilgi istiyorum..
     



  2. Cevap: Temel Tanım ve Teoremler

    Tanım 1.1: G boş olmayan bir küme olsun. Her a, bÎ G için,
    : GxG G
    (a , b) a b ile tanımlı fonksiyona G üzerinde bir ikili işlem denir. ,G kümesi üzerinde bir ikili işlem olsun.
    (a) " a, b, cÎ G için a (b c) = ( a b) c ise işleminin birleşme özelliği vardır denir.
    (b) " aÎ G için a e= e a olacak biçimde bir tek eÎ G elemanı varsa bu e elemanına G kümesinin işlemine göre birim elemanı denir.
    (c) " aÎ G için a a = a a olacak biçimde bir a Î G elemanı varsa bu a elemanına a nın işlemine göre tersi denir.

    Bir G kümesi üzerinde tanımlı işlemi (a) koşulunu sağlarsa (G, ) cebirsel yapısına yarı grup denir. Bir yarı grup (b) koşulunu sağlarsa , bu yarı gruba monoid denir. (c) koşulunu sağlayan bir monoide grup denir.

    (G, ) bir grup olsun. Her a, bÎ G için a b = b a eşitliği sağlanırsa G ye değişmeli grup denir.

    Tanım 1.2: R boş olmayan bir küme, “+” ve “.” R üzerinde tanımlı iki işlem olsun. (R,+) değişmeli bir grup, (R,.) yarı grup ve “.” işleminin “+” işlemi üzerine soldan ve sağdan dağılma özellikleri yani, " r , r , sÎ R için,
    s(r + r ) = s r + s r ve (r + r )s = r s + r s
    sağlanırsa R ye halka denir.

    (R,.) monoid ise halkaya birimli ve “.” işlemi değişmeli ise halkaya değişmeli halka denir.

    Tanım 1.3: R bir halka ve S, R nin boştan farklı bir alt kümesi olsun. S kümesi R deki işlemlere göre halka yapısını oluşturuyorsa S ye R nin bir alt halkası denir.

    Tanım 1.4: R bir halka olsun. Z = { rÎR ½" s Î R için rs = sr }Í R ye R halkasının merkezi denir.

    Bir xÎ R için Z (x) = { rÎR ½rx = xr }Í R kümesine x in R deki merkezleyeni denir.
    Tanım 1.5: R bir halka ve aÎ R-{0} olsun. ab = 0 ( ba = 0 ) olacak şekilde bir bÎR-{0} bulunabiliyorsa a ` ya sol (sağ) sıfır bölen denir. aÎ R elemanı hem sağ hem de sol sıfır bölen ise a `ya sıfır bölen denir. 0 ¹ aÎR için ab = 0 ( ba = 0 ) olduğunda b = 0 olacak biçimde bÎ R varsa a ya sol(sağ) sıfır bölensizi denir.
    0 ¹ aÎ R elemanı hem sağ hem de sol sıfır bölensizi ise a ya sıfır bölensizi denir.

    Tanım 1.6: R en az iki elemanı olan bir halka olsun. R komütatif, birimli ve sıfır bölensiz ise o zaman R halkasına Tamlık bölgesi denir.

    Tanım 1.7: R bir halka olsun. "aÎ R için na = 0 olacak şekilde bir en küçük pozitif n tamsayısı varsa buna R nin karakteristiği denir ve charR = n ile gösterilir. Eğer böyle bir n tamsayısı bulunamazsa charR = 0 dır.

    Tanım 1.8: R bir halka ve nÎ Z olsun. "xÎ R için nx = 0 olması x = 0 olmasını gerektiriyorsa R ye n – torsion free denir. Örneğin, xÎ R için 2x = 0 olması x = 0 olmasını gerektiriyorsa R ye 2-torsion free denir.

    Tanım 1.9: (R,+,.) ve (S,*,o) iki halka olsun. f : R®S fonksiyonu "a, b ÎR için,
    f(a+b) = f(a) * f(b) ve f(a.b) = f(a) o f(b)
    şartları sağlanıyorsa f ye bir halka homomorfizmi denir.
    Eğer f halka homomorfizmi , birebir ise f fonksiyonuna halka monomorfizmi denir. Eğer f halka homomorfizmi , örten ise f fonksiyonuna halka epimorfizmi denir.
    Eğer f halka homomorfizmi , birebir ve örten ise f fonksiyonuna halka izomorfizmi denir.
    Eğer f :R®R fonksiyonu, bir halka homomorfizmi ise f ye halka endemorfizmi denir.
    Eğer f :R®R fonksiyonu , bir halka izomorfizmi ise f ye halka otomorfizmi denir.

    Tanım 1.10: R bir halka ve f : R ® S bir homomorfizm olsun.
    Ker f ={ xÎR ½ f (x) = 0 }
    kümesine f nin çekirdeği denir.

    Tanım 1.11: U kümesi R halkasının bir alt halkası olsun. "rÎ R ve "uÎ U için;
    r uÎ U ( RU Í U )
    ise U ya R nin sol ideali,
    u rÎ U ( UR Í U )
    ise U ya R nin sağ ideali denir.
    Hem sağ hem de sol ideal olan alt halkaya ideal denir.
    U bir sol (sağ) ideal olsun. A (U) ={rÎR ½"uÎU için ru=0 (ur=0) }Í R idealine U nun R deki sol (sağ) sıfırlayanı denir.

    Tanım 1.12: R bir halka olsun. 0 ¹ uÎ R için u = 0 olacak şekilde bir n pozitif tamsayısı varsa u elemanına nilpotent eleman denir. Böyle pozitif sayıların en küçüğüne nilpotent indeksi denir. 0 ¹ u Î R için u = 0 , u ¹ 0 ise u ya nilpotent eleman ve n ye de nilpotentlik indeksi denir.

    Tanım 1.13: U, R nin bir ideali olsun. Bir nÎ Z için U =0 eşitliği sağlanıyorsa U ya R nin nilpotent ideali denir.
    U , R nin bir ideali olsun. U nun her elemanı nilpotent ise U ya nil ideal denir.
    Her nilpotent ideal nil ideal olduğu halde nil olup nilpotent olmayan idealler vardır.

    Önerme 1.1: R bir halka halka ve U, R nin sıfırdan farklı sağ ideali olsun. " uÎ U için u = 0 olacak biçimde sabit en küçük bir nÎ Z bulunabiliyorsa, R nin sıfırdan farklı bir nilpotent ideali vardır.

    Önerme 1.2: R sıfırdan farklı nilpotent ideali olmayan 2 – torsion free halka olsun. aÎ R ve "xÎ R için a(ax - xa ) = (ax - xa ) a olacak biçimde ise aÎ Z dir.
    Tanım 1.14: R bir halka, P ¹ R, R nin bir ideali olsun. R nin UV Í P koşulunu sağlayan her bir U ve V idealleri için U Í P veya V Í P sağlanıyorsa P ye asal ideal denir.


    Teorem 1.1: R bir halka ve P onun ideali olsun. Buna göre aşağıdakiler denktir.
    (i) P asal idealdir.
    (ii) " a ,bÎ R için aRb Í P ise a Î P veya b Î P dir.
    (iii) " a ,bÎ R için (a)(b) Í P ise a Î P veya b Î P dir.
    (iv) U ve V , R nin iki sol (sağ) ideali olmak üzere UV Í P ise U Í P veya V Í P dir.

    Tanım 1.15: R nin (0) ideali asal ideal ise halkaya asal halka denir.

    Teorem 1.2: R bir halka olsun. Aşağıdaki ifadeler denktir.
    (i) R asal halkadır.
    (ii) a,b Î R için aRb = 0 Þ a = 0 veya b = 0 dır.
    (iii) U ve V, R nin idealleri olmak üzere UV = 0 Þ U = 0 veya V = 0 dır.
    (iv) R nin sıfırdan farklı sol (sağ) idealinin sol (sağ) sıfırlayanı sıfırdır.
    Tanım 1.16: R bir halka ve P onun ideali olsun. R nin herhangi bir U ideali için, U Í P olduğunda U Í P oluyorsa P ye R nin yarı-asal ideali denir.

    Teorem 1.3: R bir halka ve P onun ideali olsun. Buna göre aşağıdakiler denktir.
    (i) P yarı-asal idealdir.
    (ii) aÎ R için aRa Í P ise aÎ P dir.
    (iii) (a), R de bir esas ideal ve (a) Í P ise aÎ P dir.
    (iv) U, R de bir sol (sağ) ideal ve U Í P ise U Í P dir.

    Tanım 1.17: R bir halka olsun. R nin tüm asal ideallerinin arakesitine R nin asal radikali denir ve P(R) ile gösterilir. Bir R halkasında P(R) = 0 ise, halkaya yarı- asal halka denir.
    Bir R halkasının yarı-asal olması için gerekli ve yeterli koşul, aÎ R için ,
    aRa = 0 olduğunda a = 0 olmasıdır.
    Her asal halka bir yarı - asal halkadır ama tersi daima doğru değildir.

    Önerme 1.3: R asal halka olsun. aÎ R için R nin sıfırdan farklı bir sağ ideali merkezleştiriyorsa aÎ Z dir.

    Teorem 1.4: R asal halka ve U, R nin sıfırdan farklı sol ideali olsun. U değişmeli ise R değişmelidir.

    Tanım 1.18: Bir birleşmeli halka üzerinde yeni iki cebirsel yapı halkanın işlemlerinde kullanılarak; a, bÎ R için [a,b] = ab - ba ve (a,b) = ab + ba komutatörleri ile sırasıyla Lie yapısı ve Jordan yapısı olarak tanımlanabilir.

    Komütatörlerin bazı özellikleri aşağıdaki gibi verilebilir. a, b, cÎ R için ;
    (i) [a,b] = - [b,a]
    (ii) [a+b, c] = [a,c] + [b,c]
    (iii) [a, b+c] = [a,b] + [a,c]
    (iv) [ab, c] = a[b,c] + [a,c]b
    (v) [a, bc] = [a,b]c + b [a, c]
    (vi) [[a,b] , c] + [[b,c] , a] + [[c,a] , b] = 0 ( Jacobi özdeşliği )

    Önerme 1.4: R asal halka ve a, bÎ R olsun. Her rÎ R için b[a, r] = 0 ise b = 0 veya aÎ Z dir.

    Önerme 1.5: R bir asal halka olsun. x, yÎ R ve 0¹ xÎZ için xy = 0 ise y = 0 dır. Önerme 1.6: R bir yarı–asal halka ve aÎ R olsun. "x, yÎ R için a[x , y ] = [x , y ]a ise aÎ Z dir.
    Önerme 1.7: R bir asal halka Z, R nin merkezi ve 0 ¹ cÎZ olsun. Bir aÎ R için acÎ Z ise aÎ Z dir.

    Tanım 1.19: R bir halka olsun. R nin bir toplamsal alt grubunun her a, bÎ A elemanı [a, b] Î A ( (a,b)Î A ) koşulunu sağlıyorsa A ya R nin Lie (Jordan) alt halkası denir.

    Tanım 1.20: R bir halka ve A, R nin Lie (Jordan) alt halkası olsun. A nın bir U toplamsal alt grubu her bir uÎ U ve aÎ A için [u, a]Î U ( (u , a) Î U ) koşulunu sağlıyorsa U ya A nın Lie (Jordan ) ideali denir.
    Her ideal bir Lie ve Jordan idealdir ama tersi daima doğru değildir.

    Önerme 1.8: R bir asal halka, char R ¹ 2 ve U Z , R nin bir Lie- ideali olsun. Buna göre, aUb = 0 ise a = 0 veya b = 0 dır.
    Teorem 1.5: R 2- torsion free asal halka olsun. R nin sıfırdan farklı bir nilpotent ideali yoksa, R nin sıfırdan farklı her bir Jordan ideali, R nin sıfırdan farklı en az bir idealini içerir.

    Tanım 1.21: R bir halka U, R nin toplamsal bir alt grubu ve s, t : R R iki dönüşüm olsun. [x,y] = xs(y) - t(y)x olmak üzere ;
    (a) [U,R] Ì U ise U ya R nın bir (s,t) – sağ Lie ideali,
    (b) [R,U] Ì U ise U ya R nın bir (s,t) – sol Lie ideali,
    (c) (a) ve (b) aynı anda sağlanıyorsa U ya R nin bir (s,t) – Lie ideali denir.
    s ve t R nin iki otomorfizmleri olmak üzere, C ={c ÎR½ cs(x)=t(x)c , "xÎR } kümesine R nin (s,t) - merkezi denir.

    Önerme 1.9: R bir asal halka ve 0 ¹ d : R® R bir (s,t) – türev olsun. Buna göre ,
    (i) a, bÎ R için ab = 0 ve bÎ C ise a = 0 veya b = 0 dır.
    (ii) b, abÎ C ise aÎ Z veya b = 0 dır.
    Önerme 1.10: U sıfırdan farklı bir (s,t) – sol Lie ideali olsun. Eğer UÌ C ise UÌ Z dir.