Tek ve Çift Fonksiyonlar

'Ders notları' forumunda ZORBEY tarafından 25 Kasım 2009 tarihinde açılan konu


  1. Tek Fonksiyonlar
    Çift Fonksiyonlar


    Tanımlı olan tüm x değerleri için f (-x) = -f (x) oluyorsa tek ;
    f (-x) = f (x) oluyorsa çift fonksiyon denir.

    Diğer bir deyişle
    başlangıç noktasına (0,0) göre simetrik fonksiyonlar tek ;
    y eksine göre simetrik fonksiyonlar çift fonksiyondur.

    Örnek 36: f(x) = sinx +3x -x3 fonksiyonu tek mi çift midir ?
    Çözüm : f (-x) = sin (-x) + 3(-x) -(-x)3
    = -sinx -3x +x3
    = -(sinx +3x -x3)
    = -f(x) olduğundan tek fonksiyondur.

    Örnek 37: f(x) = x2 + 4 -cosx fonksiyonu tek mi çift midir ?
    Çözüm : f(-x) = (-x)2 + 4 -cos(-x)
    = x2 + 4 -cosx
    = f(x) olduğundan çift fonksiyondur.

    Örnek 38: f(x) = x2 + x3 -3 fonksiyonu tek mi çift midir ?
    Çözüm : f(-x) = (-x)2 + (-x)3 -3
    = x2 - x3 -3 olduğundan ne tek ne de çift fonksiyondur.

    Örnek 39: f(x) = 0 fonksiyonu tek mi çift midir ?
    Çözüm : f (-x) = f(x) = -f(x) = 0
    olduğundan fonksiyon hem tek hem de çifttir.
    Diğer bir deyişle f(x)=0 fonksiyonu yani x ekseni
    hem başlangıç noktası hem de y eksenine göre simetriktir.

    Örnek 40: 2f(x) - x -2 = f(-x) fonksiyonu çift olduğuna göre f (x) fonksiyonunu bulunuz.
    Çözüm : Çift fonksiyon olduğundan f(x) = f(-x) olur.
    Dolayısıyla 2f(x) - x -2 = f(x) olacağından f(x) = x+2 olur.

    Periyodik fonksiyonlar :

    Eğer bir f(x) fonksiyonunda f (x) = f (x+t) olacak şekilde bir t gerçek sayısı bulunuyorsa f (x) fonksiyonu periyodiktir.
    Buradaki t sayısına da o fonksiyonun periyodu denir.
    Diğer bir deyişle periyodu t olan bir fonksiyonda
    f(x+t) = f(x) ==> ( x+t ) - x = t olur.

    Örnek 41: f (x) = g ( 2x+3 ) ile tanımlı iki periyodik fonksiyondan g (x) fonksiyonunun periyodu 5 ‘ tir. Buna göre f(x) fonksiyonunun periyodu nedir ?
    Çözüm : f (x) fonksiyonunun periyoduna t dersek f(x+t) = f(x) olmalıdır.
    Dolayısı ile g ( 2x+2t +3) = g( 2x+3) ve
    ( 2x+2t +3) - ( 2x+3) = 5 olmalıdır
    ( çünkü g (x) fonksiyonunun periyodu 5 )
    buradan t = 5/2 bulunur.
    f (x) fonksiyonunun periyodu t ise
    f (ax+b) fonksiyonunun periyodu olur.
    Buna göre g (x) fonksiyonu için t=5 olduğuna göre
    g ( 2x+3) fonksiyonunun periyodu da 5/2 ‘dir de diyebilirdik.
    f(x) ve g(x) gibi iki fonksiyonunun periyotları t1 ve t2 ise bu iki fonksiyonun toplam veya farklarının periyotları OKEK(t1 , t2 ) olur. Çarpım veya bölümlerinin periyotları ise bu fonksiyonları toplam veya fark formuna çevirerek bulunur.

    Örnek 42 : f(x) fonksiyonunun periyodu 3,
    g(x) fonksiyonunun periyodu 4 ise
    h(x) = f (3x+5)-g(2x+7) fonksiyonunun periyodu nedir ?
    Çözüm : f (3x+5) fonksiyonunun periyodu 3/3 = 1 ve g(2x+7) fonksiyonunun periyodu 4/2 = 2 olduğundan h(x) fonksiyonunun periyodu OKEK(1,2) = 2 olur.
    Trigonometrik fonksiyonlardan
    sin x ve cos x fonksiyonlarının periyotları 2 ;
    tanx ve cotx fonksiyonlarının periyotları ise  ‘dir.

    Örnek 43 : f (x) = cos(2x-3) + sin (4x-5) ise f(x) fonksiyonunun periyodu nedir ?
    Çözüm : cos(2x-3) fonksiyonunun periyodu ve
    sin (4x-5) fonksiyonunun periyodu olduğundan
    f (x) fonksiyonunun periyodu ikisinin OKEK’i olan  ‘ dir.

    Örnek 44 : f (x) = 6sin5xcos3x -5 fonksiyonunun periyodu nedir ?
    Çözüm : Ters dönüşüm formullerinden yararlanarak buluruz.
    Dolayısıyla f (x) = 3sin 8x +3sin 2x -5 olacağından ;
    sin 8x fonksiyonunun periyodu ve
    sin 2x fonksiyonunun periyodu ise olur.
    f (x) fonksiyonunun periyodu da OKEK ( olur.

    Örnek 45 : f(x) = 3sin25x +2 fonksiyonunun periyodu nedir ?
    Çözüm : cos 2x = 1-2sin2x olduğundan
    olur.
    Bu nedenle olur.
    f(x) fonksiyonu da
    olacağından periyodu da bulunur.
    Sinkax ve coskax fonksiyonlarının periyotları k sayısı çift ise ,
    k sayısı tek ise ;
    tankax ve cotkax fonksiyonlarının periyotları
    k sayısı ne olursa olsun ‘dır.
    Buna göre aynı soru k =2 olduğundan bu bilgileri kullanarak ’ dir de diyebiliriz .
    Fonksiyonların toplamı,farkı, çarpımı,bölümü :
    f (x) ve g (x) fonksiyonları için
    h (x) = ( f + g ) (x) = f (x) + g (x) fonksiyonuna toplam fonksiyonu ;
    h (x) = ( f - g ) (x) = f (x) - g (x) fonksiyonuna fark fonksiyonu ;
    h (x) = ( f . g ) (x) = f (x) . g (x) fonksiyonuna çarpım fonksiyonu ;
    h (x) = ( f / g ) (x) = f (x) / g (x) fonksiyonuna bölüm fonksiyonu denir.
    Burada dikkat edilmesi gereken noktalardan
    birincisi h (x) fonksiyonunun tanım kümesi
    f ve g fonksiyonlarının tanım kümelerinin kesişim kümesidir , ikincisi ise fonksiyonlar üzerinde tanımlanan işlemler fonksiyonların görüntü kümeleri üzerinde yapılacaktır.

    Örnek 46 : f (x) = 3x+5 fonksiyonu için tanım kümesi A = {-1,1,2,3} ve g (x) = 2x-3 fonksiyonu için tanım kümesi B = {-1,2,3,4} olduğuna göre h (x) = (f+g)(x) fonksiyonunun tanım ve değer kümelerini bulunuz.
    Çözüm : Tanım kümesi = A  B = {-1,2,3} olur.
    h (x) = (3x+5) + (2x-3) = 5x+2 olduğundan
    h (-1) = -3
    h ( 2) = 12
    h (3) = 17 olur ve değer kümesi de G = {-3,12,17} şeklinde bulunur.

    Örnek 47 : f : A  B , f (x) = {(1,2),(2,3),(3,4)} ve
    g : C  D , C = {1,2,3} ,g (x) = x+1 olduğuna göre
    h (x) = 2f(x)+3g(x) fonksiyonunun değer kümesini bulunuz .
    Çözüm : Fonksiyonlar incelendiğinde eşit fonksiyon oldukları görülmektedir. Dolayısı ile h (x) = 5f (x) diye düşünülebilir.
    h (1) = 5f (1) = 10 ;
    h (2) = 5f (2) = 15 ;
    h (3) = 5f (3) = 20 olduğundan değer kümesi ={10,15,20} olarak bulunur.