Rasyonel Sayılarda Ondalık Sayılar

'Sayısal Dersler' forumunda Sitem tarafından 27 Aralık 2011 tarihinde açılan konu


  1. Rasyonel Sayılarda Ondalık Sayılar Konu anlatımı
    Ondalık Sayılar ile ilgili çözümlü sorular



    RASYONEL SAYILARDA ONDALIK SAYILAR
    m Є Z ve n Є Z+ olmak üzere, m / 10n şeklinde yazılabilen kesirlere Ondalık Kesir, sayılara da Ondalık Sayılar denir. Yani, paydası 10' un kuvveti olan kesirler (sayılar) dir.

    Burada a ya tam kısmı, bcd ye de kesir kısmı denir.
    Her doğal sayının ondalık kesir kısmı sıfırdır.
    5,0 ; 175,0 ; 1453,0

    B. ONDALIK KESİRLERDE ÇÖZÜMLEME
    Bir ondalık kesri basamak değerlerinin toplamı biçiminde ifade etmeye ondalık kesri çözümleme denir.

    C. ONDALIK KESİRLERDE DÖRT İŞLEM
    1. Toplama – Çıkarma : Ondalık kesirler toplanırken, virgüller alt alta gelecek şekilde yazılır ve doğal sayılarda toplama – çıkarma işleminde olduğu gibi toplama – çıkarma işlemi yapılır. Sonuç, virgüllerin hizasından virgülle ayrılır.
    2. Çarpma : Ondalık kesirlerin çarpımı yapılırken, virgül yokmuş gibi çarpma işlemi yapılır. Sonuç, çarpılan sayıların virgülden sonraki basamak sayılarının toplamı kadar, sağdan sola doğru virgülle ayrılır.
    3. Bölme : Ondalık kesirlerin bölme işlemi yapılırken, bölen virgülden kurtulacak biçimde 10 un kuvveti ile çarpılır. Bölünen de aynı 10 un kuvveti ile çarpılarak normal bölme işlemi yapılır.

    D. DEVİRLİ ONDALIK AÇILIMLAR
    Bir rasyonel sayı ondalık yazıldığında, ondalık kısmındaki sayılar belli bir rakamdan sonra tekrar ediyorsa bu açılıma devirli ondalık açılım denir.
    Devreden kısım üzerine (—) işareti konulur.

    · Her devirli ondalık açılım bir rasyonel sayı belirtir.
    · Her rasyonel sayının bir devirli ondalık açılımı vardır.
    · Bazı devirli ondalık açılımlar ondalık kesir değildir.
    0,333… gibi. (Çünkü rasyonel sayı olarak yazıldıklarında, ondalık kesir tanımına uymuyor.)

    E. DEVİRLİ ONDALIK AÇILIMLARI RASYONEL SAYIYA ÇEVİRME
    Bir devirli ondalık açılıma karşılık gelen rasyonel sayıyı bulmak için aşağadaki yol takip edilir.

    · Pay için “sayı aynen yazılır, devretmeyen kısım çıkarılır.”
    · Payda için “virgülden sonra devreden rakam sayısınca (9) devretmeyen rakam sayısınca (0) yazılır.” İfadeleri kullanılır.

    Devreden sadece (9) ise pratik olarak bir önceki rakam 1 artırılır. Devreden sayı iptal edilir.

    Paydası 10 un bir kuvveti olan (veya bu şekle getirilebilen) her rasyonel sayı sıfır devredenli bir ondalık açılıma sahiptir.

    F. ONDALIK KESİRLERDE SIRALAMA
    Ondalık kesirlerde karşılaştırma yapılırken, soldan sağa doğru, aynı basamaktaki rakamlar karşılaştırılır.
    Bu karşılaştırmada, sayı değeri büyük olan rakamın yer aldığı kesir, diğerlerinden büyük olur.

    G. BİR ONDALIK KESRİ VERİLEN BİR BASAMAĞA GÖRE YUVARLAK YAPMA
    Bir ondalık kesri, kendisine eşit olarak alınabilecek yaklaşık değerlerle ifade etmeye yuvarlak yapma denir. Yaklaşık ifade etme sembolü » şeklindedir.
    Bir ondalık kesri, verilen bir basamakta yuvarlak yapmak için, bu basamağın sağındaki rakama bakılır. Rakamın sayı değeri;
    · 5 ten küçük ise verilen basamaktaki rakam aynen kalır ve sağındaki basamaklar atılır.
    · 5 ve 5 ten büyük ise, verilen basamağın sayı değeri 1 artırılır ve sağındaki basamaklar



    ÖRNEK SORU 1:

    5:X – 1 kesri bileşik kesir ise, x nedir?


    ÇÖZÜM:
    lx-l ≤ 5 ve x – 1 ≠ 0 olmalı

    -5 ≤ x – 1 ≤ 5

    -5+1 ≤ x-1 +1 ≤ 5+ 1

    -4 ≤ x ≤ 6 ve x ≠ 1

    3.a b/c ye tamsayılı kesir denir.

    5 2/3-4 ¼=17/3-17/4=68-51/2
    (4) (3)

    =17/12 bulunur.



    4.kesirlerde sadeleştirme ve genişleştirme yapılır.

    2/3=2.5/3.5=10/55

    =2(-3)/3(-3)=-6/-9=6/9

    20/30=2.10/3.10=2/3

    5.kesirler arasında toplama,çıkarma,çarpma,bölme işlemleri yapılır.toplama ve çıkarma işlemlerinde paydaların eşit olması gerekir.

    Örnek soru:
    1/2a(1)-/a(2)=1-2/2a=-1/2a=-1/2a=1/-2a

    6.kesir problemlerinde önce parantez içi işlemler yapılır.Eğer parantez ok ise önce bölme, çarpma sonra toplama ve çıkarma işlemleri yapılır.

    Örnek soru 3:
    [3.(1 +5/3)]:1/7].(1/4+1/3)]:6 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

    A) 16 B) 49/9 C) 21 D) 16/3

    Çözüm:

    [3.(1+5/3):1/7.(1/4+1/3)]:6

    [3.8/3:1/7.7:12]:6

    [3.8/3.7/1.7/12]:6/1

    8.49/12x1/6=49/9 bulunur.

    Örnek soru 4:

    1 ½.1/3-3/4:6/8+1/2 işleminin sonucu kaçtır?

    A) 0 B) 1/12 C) 5/24 D) 1



    ÇÖZÜM:

    = ½.1/3-3/4:6/8+1/

    =3/2.1/3-3/4.8/6+1/2

    =1/2-1+1/2=0


    7.Paydası 10, 100, 1000,... şeklinde kesirlere ondalık sayı denir.

    A/10=0,a ab/10=a,b

    8.Bazı kesirler ondalık sayıya çevrildiğinde virgülden sonrası düzenli olarak sonsuza kadar devam eder.Böyle sayılara devirli ondalık sayılar denir.

    Örnek soru:
    2/9 kesrini ondalık olarak yazarsak;

    9.Devirli ondalık sayılar rasyonel sayıya çevrilirken aşağıdaki formül kullanılır.

    Ab,cde=abcde-abcd/900 =sayının tamamı-devretmeyen sayı/virgülden sonra devreden kadar 9 virgülden sonra devretmeyen kadar 0
    1.235=1235-12/990=1223/990
    10. pozitif kesirler arasında sıralama yapılırken şu yollardan herhangi biri kullanılır.

    a-) Paydaları eşitlenir, payı büyük olan büyüktür.
    b-) Payları eşitlenir, paydası küçük olan büyüktür.
    c-) Ondalık sayıya çevrilir.
    d-) Pay ve payda arasındaki fark aynı ise basit kesirlerde payı büyük olan büyüktür. Bileşik kesirlerde ise payı küçük olan büyüktür.

    (3/8<7/12)5 fark
    (12/2>33/23)10 fark

    11. Negatif kesirler sıralanırken önce pozitif gibi sıralanır, sonra sıralanma ters çevrilir.



    Örnek

    a=-1/2, b=-2/3, c=-3/5 ise a,b ve c yi sıralayınız.

    Çözüm: 1/2 , 2/3, 3/5 sayılarını sıralayalım. Bu kesirlerin paylarını 6 da eşitlersek sırasıyla;
    6/12, 6/9, 6/10 olur.
    6/12<6/10<6/9 bulunur.1/2<3/5<2/3 sayılarını –1 ile çarparsak –1/2>-3/5>-2/3 a>c>b bulunur

    12. Rasyonel sayılarda arada olma iki rasyonel sayı arasında sonsuz çoklukta rasyonel sayı vardır.
    x<y için x ve y iki rasyonel sayı ise
    x<x+y/2 <y olmak üzere
    x+y/2 rasyonel sayıdır.



    Örnek soru:
    1<x<2 olacak biçimde her herhangi üç tane x rasyonel sayısı yazınız.

    Çözüm:
    1<x1<x2<x3<2 olsun.
    x2=1+2/2=3/2
    x1=(1+3/2).1/2=5/2.1/2=5/4
    x3=(3/2+2).1/2=7/2.1/2=7/4


    ----------1-------x1--------x2---------x3----------2------------
    5/4 3/2 7/4


    örnek soru:


    ½ ile 2/3 rasyonel sayıları arasında ve paydası 36 olan kaç tane rasyonel sayı yazılabilir?

    Çözüm:
    1/2 =18/36 ve 2/3=24/36
    (18) (12)
    1/2<x<2/3 → 18/36<x<24/36
    x ε (19/36, 20/36, 21/36, 22/36, 23/36) koşula uygun 5 tane sayı yazılabilir.

    Örnek soru:
    0,0039/0,13=39/10000/13/100

    =39/10000.39/13=3/100=0,03


    örnek soru:
    x pozitif bir ondalık sayıdır.x+1/20 bir tamsayı olduğuna göre, x in virgülden sonraki kısmı nedir?

    Çözüm:
    X+1/20

    X+0,05=1,00

    0,95+0,05=1,00

    öyleyse x in virgülden sonraki kısmı 0,95 olur.

    Örnek soru:
    1,2,3,4,5 rakamlarının ikisinden oluşturulan iki basamaklı bir sayı pay, öteki ikisinden oluşturulan iki basamaklı bir sayıda payda olmak üzere, elde edilebilecek kesirlerden en küçüğünün yaklaşık değeri nedir?

    Çözüm:
    Sayımız 23/54 ≡ 0,43 bulunur.



    Örnek soru:
    Bir sayıyı 0,25 ile çapmak, bu sayıyı kaça bölmektir?

    Çözüm:
    A. 0,25
    A. 25/100=A.1/4=A/4

    Bir sayıyı 0,25 ile çapmak bu sayıyı 4 e bölmek demektir.

    Örnek soru:

    A=11/10, B=101/100, C= 1001/1000, D= 10001/10000
    Olduğuna göre, bu sayıları sıralayınız.

    11/10(1000), 101/100(100), 1001/1000(10), 10001/10000(1)

    11000/10000, 10100/10000, 10010/10000, 10001/10000

    paydaları eşit olan pozitif kesirlerden payı büyük olan daha büyük olduğu için

    a>b>c>d bulunur.

    Örnek soru:

    0,5161616... devirli (periyodik) ondalık sayısını rasyonel sayı biçiminde ifade ediniz.

    Çözüm:
    0,5161616...=0,516
    =516-5/990=511/990


    ÖRNEK SORU:
    (2-1/2)+(1/2+2)/(3+4/3)-(3+1/3)


    ÇÖZÜM:

    (2-1/2)+(2+1/2)/(3+4/3)-(3+1/3)
    =2+2/13-10=2/3=8/2.3/3=4 Bulunur.


    Örnek soru:
    Dört arkadaş bir tepsi baklavayı şekildeki gibi paylaşmışlardır.Aldıkları paylara göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
    A.Meral’in payı hakan’ın payından azdır.
    B.AYŞE’NİN payı, ALİ’NİN payından fazladır.
    C.AYŞE’nin payı, MERAL’in payına eşittir.
    D.HAKAN’ın payı, AYŞE’nin payına eşittir.

    Çözüm:
    1/4(2) +3/8+1/8=2/8+3/8+1/8=6/8
    Tamamı 8/8 dir.
    Ayşe’nin payı 8/8-6/8=2/8=1/4 bulunur.Öyleyse Meral’in payı Ayşe’nin payına eşit olur.


    Örnek SORU:
    3/2:2/2-2/2:2/3 İşleminin sonucu kaçtır?

    Çözüm:

    3/2.1/2-2/1.3/2

    3/4(1)3/1(4)=3-12/4

    =-9/4 bulunur.



    Örnek soru
    A=6/7,b=10/11,c=12/5 sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı nedir?

    Çözüm:

    Payı paydasından büyük olan pozitif kesirler 1 den büyük, paydası payından büyük olan pozitif kesirler 1 den küçük olduğu için a ve b,1 den küçük, c,1 den büyüktür.