Pisagor Teoremi İspatı

'Etüt Merkezi' forumunda EyLüL tarafından 30 Ocak 2012 tarihinde açılan konu


  1. Pisagor Teoremi İspatı Nedir
    Pisagor Teoremi İspatı Örnekleri

    Pisagor teoremine göre bir diküçgende dik kenarın yani hipotenüsün bir kenarını oluşturduğu karenin alanı diğer iki dik kenarın birer kenar olarak oluşturdukları karelerin alanları toplamına eşittir.:
    [​IMG]

    Şekle göre AE = AB, AF = AC olduğundan ΔABF ve ΔAEC üçgenlerinin alanları eşittir.
    Açılar arasında da şöyle bir eşitlik bulunmaktadır.
    ∠BAF = ∠BAC + ∠CAF = ∠CAB + ∠BAE = ∠CAE.
    ΔABF üçgeninde AF’yi taban kabul edip B köşesinde AF’nin uzantısına dik indirirsek bu dik AC’yi eşit olur.
    ΔABF üçgeninin alanıda bu eşitlikten AC’nin karesinin yarısına eşit olur.
    ΔAEC üçgeninde ise AE’yi taban kabul edip C köşesinden dik indirirsek bu dik, AM’ye eşit olur (M noktası AB ile CL’nin kesişim noktası).
    Böylece ΔAEC üçgeninin alanı AELM dikdörtgeninin alanının yarısına eşit olur.
    Bu eşitliklerden yola çıkarak AC kenarlı karenin alanı (AC^2) (ΔABF ve ΔAEC üçgenlerinin alan eşitliğinden) AMLE dikdörtgeninin alanına eşit olur.
    Aynı şekilde BC kenarlı karenin alanı (BC^2) da BMLD dikdörtgenin alanına eşit olur. Sonuç olarak AELM ve BMLD dikdörtgenleri AB kenarı üzerinde alanı AB^2 olan bir kare oluştururlar.
    AELM ve BMLD dikdörtgenlerinin alanları ACGF ve CBKH karelerinin alanlarına eşit olduğundan:
    A(ABDE) = A(ACGF) + A(CBKH)
    AB^2 = AC^2 + CB^2 olur.

    Şekle göre AE = AB, AF = AC olduğundan ΔABF ve ΔAEC üçgenlerinin alanları eşittir.Açılar arasında da şöle bir eşitlik bulunmaktadır.∠BAF = ∠BAC + ∠CAF = ∠CAB + ∠BAE = ∠CAE.
    ΔABF üçgeninde AF’yi taban kabul edip B köşesinde AF’nin uzantısına dik indirirsek bu dik AC’yi eşit olur. ΔABF üçgeninin alanıda bu eşitlikten AC’nin karesinin yarısına eşit olur.
    ΔAEC üçgeninde ise AE’yi taban kabul edip C köşesinden dik indirirsek bu dik, AM’ye eşit olur (M noktası AB ile CL’nin kesişim noktası).Böylece ΔAEC üçgeninin alanı AELM dikdörtgeninin alanının yarısına eşit olur.
    Bu eşitliklerden yola çıkarak AC kenarlı karenin alanı (AC^2) (ΔABF ve ΔAEC üçgenlerinin alan eşitliğinden) AMLE dikdörtgeninin alanına eşit olur.Aynı şekilde BC kenarlı karenin alanı (BC^2) da BMLD dikdörtgenin alanına eşit olur. Sonuç olarak AELM ve BMLD dikdörtgenleri AB kenarı üzerinde alanı AB^2 olan bir kare oluştururlar.AELM ve BMLD dikdörtgenlerinin alanları ACGF ve CBKH karelerinin alanlarına eşit olduğundan:A(ABDE) = A(ACGF) + A(CBKH)AB^2 = AC^2 + CB^2 olur.


    Pisagor Teoremi İspatı – 2 :

    [​IMG]


    Yan yana konumlandırılmış a ve b kenarlı iki adet karemiz bulunmakta. Toplam alanımız a^2 + b^2 olur.


    [​IMG]

    Şimdi şekilde ki gibi eş üçgenler oluşturacak şekilde iki çizgi yani hipotenüslerimizi (c) çiziyoruz. İki karenin kaldırıldığı bu bölümü not edin. Bu noktada iki üçgenimiz ve garip bir şeklimiz var.


    [​IMG]

    Son adım olarak üçgenlerimizi, sağ taraftakini saat yönünde sol taraftakini saat yönünün tersine, olacak şekilde 90 derece döndürüyoruz. Son olarak oluşan kare, eskiden a^2 + b^2 olan şeklin alanının c^2 olduğunu açık bir şekilde gösteriyor. Eğer döndürme işlemini anlamadıysanız aşağıdaki şekilde üçgenlerin taşınmasıyla da aynı şekil elde ediliyor onu inceleyin.

    [​IMG]