Pascal Üçgeni ve Pascal Üçgeninin özellikleri

'Sayısal Dersler' forumunda HazaN tarafından 24 Mayıs 2011 tarihinde açılan konu


  1. Pascal üçgeni hakkında bilgi
    Pascal üçgeni nedir

    Bir kümenin alt kümelerinin sayısını gösteren “PASCAL” üçgenini oluşturalım.
    Kümenin Eleman Sayısı:

    s(A)=...........0 .1
    s(A)=..........1 1.1
    s(A)=.........2 .1.2.1
    s(A)=........3 1.3.3.1
    s(A)=.......41. 4.6.4.1
    s(A)=......51. 5.1010.51 .

    Üçgenin tepesinde 1 yazdık.Sonraki satırların ilk ve son sayılarını yine 1 aldık.Bir satırda ardışık iki sayının toplamını bu sayıların ortasına gelecek şekilde bir alt satıra yazdık.Bu işlemlere yukardan aşağı doğru devam ettik.
    Örneğin; s(A)=4..... 1...4...6...4...1
    s(A)=5.....1...5...10...10...5..1
    Bu tablodaki sayıların ne ifade ettiğini gösterelim.
    A={abc** kümesi 3 elemanlı olup bu kümenin alt kümelerini yazalım.
    0 elemanlı alt kümesi{** 1 tane
    1 elemanlı alt kümeleri{a**{b**{c** 3 tane
    2 elemanlı alt kümeleri{ab**{ac**{bc**3 tane
    3 elemanlı alt kümeleri{abc** 1 tane

    s(A)=3 olan satırdaki sayılar olduğunu görünüz.O halde bu tablo bir kümenin 0 elemanlı 1 elemanlı 2 elemanlıalt kümelerinin sayısını gösterir.
    Pascal Üçgenini biraz daha büyüterek aşağıdaki örnekleri inceleyelim.
    *6 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı 15 tane alt kümesi vardır.(s(A)=6‘nın
    satırındaki üçüncü sayı)
    *5 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı en az 3 elemanlı kaç tane alt kümesi olduğunu araştıralım:
    3 elemanlı10(s(A)=5’in satırında 4. sayı)
    4 elemanlı5(s(A)=5’in satırında 5. sayı)
    *7 elemanlı bir kümenin en az 2 elemanlı kaç alt kümesi olduğunu araştıralım:
    1.YOL: (21+35+21+7+1)=120
    2.YOL: 2 7-(1+7)=128-8=120 (Neden?)

    Binom Açılımı:
    (a+b)n nin açılımında Pascal Üçgenindeki sayılar terimdeki katsayıları olur.a’nın kuvvetleri n den 0 a kadar azalarak b’nin kuvvetleri 0 dan n ye kadar artarak yazılır.


    (a+b)5=?

    Katsayılar 1 5 10 10 5 1
    A nın kuvvetleri a5 a4 a3 a2 a 1
    B nin kuvvetleri 1 b b2 b3 b4 b6

    (a+b)5=1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5


    *(5x-3y)2=?

    Katsayılar 1 2 1
    5x’in kuvvetleri 25x2 5x 1
    -3y’nin kuvvetleri 1 -3y 9y2
    (5x-3y)2= 25x2 -2.5x.3y +9y2= 25x2 –30xy +9y2

    Yukarda ki örnekten de görülebileceği gibi negatif terimin tek kuvvetlerinin olduğu terimlerin işareti negatiftir.