Önemli matematik kuramları nelerdir

'Bunları biliyormusunuz' forumunda YAREN tarafından 29 Haziran 2010 tarihinde açılan konu


  1. Önemli matematik formülleri, Önemli matematik kuramları,
    Matematik kuramları hakkında bilgi


    1-Fermat’nin Son Teoremi

    Fransız matematikçi Pierre de Fermat’nın 17. yüzyılda öne sürdüğü fakat kanıtı ancak 1994 yılında İngiliz matematikçi Andrew Wiles tarafından verilen teoremdir.
    İfadesinin ortaokul matematik bilgileriyle anlaşılacak kadar yalın olmasına karşılık öne sürülmesiyle kanıtlanması arasında geçen çok uzun sürede pek çok ünlü matematikçi tarafından üzerinde uğraşılıp da kanıtlanamamış olmasıyla matematik tarihinde öne çıkmıştır.
    Kısaca, eğer n ikiden büyük bir tamsayıysa, ve x, y, z sayıları pozitif tamsayılar ise
    [​IMG] ifadesinin sağlanamayacağını ifade eder. İfadenin n=1 ve n=2 durumlarında kolayca sağlanabileceğini görmek zor değildir. Biraz açmak gerekirse, n=2 durumu ünlüPisagor Teoremi ile yakından ilişkili olup x=3, y=4, z=5 veya x=5, y=12, z=13 tamsayı üçlüleriyle kolayca sağlanır.
    Bu sanının (artık teorem demek gerekiyor elbette) kanıtı için pek çok matematikçi uğraşmış ancak başarısız olmuşlardır. Ancak yakın tarihlere kadar çok büyük n değerleri için bu sanının doğrulanmasına devam edilmiştir. Bu tür kısmi ilerlemelere yönelik çabalar, hiç beklenmedik bir zamanda İngiliz matematikçi Andrew Wiles’ın bir kanıt bulduğunu duyurmasıyla son bulmuştur. Ne var ki kısa sürede Andrew Wiles’ın kanıtında bir hata bulunmuş ve Andrew Wiles uzun ve yorucu bir çabanın sonunda 1994 yılında uzmanlarca doğruluğu kabul gören bir kanıt vermeyi başarmıştır. Aslında Wiles’ın kanıtı Fermat’nın son teoreminden daha güçlü bir ifadenin, Şimura-Taniyama Konjektürü’nün de doğruluğunu göstermiştir. Söz konusu kanıt Sayılar Teorisi’nin çok gelişkin tekniklerini kullanır.

    2-Riemann Hipotezi

    Riemann Hipotezi (Riemann zeta hipotezi olarak da bilinmektedir),matematik alanında ilk kez 1859 yılında Bernhard Riemann tarafından formülize edilmiş çözülememiş problemlerden biridir.
    Bazı sayıların kendilerinden küçük sayıların çarpımı (örn. 2, 3, 5, 7, …) cinsinden yazılamamak gibi bir özelliği vardır. Bu tür sayılara Asal sayılar denir. Asal sayılar, hem matematik hem de uygulama alanlarında çok önemli rol oynar. Asal sayıların tüm doğal sayılar içinde dağılımı herhangi bir örüntüyü takip etmemektedir ancak Alman matematikçi Bernhard Riemann, Asal sayıların sıklığının;
    s ≠ 1 olmak koşuluyla tüm Kompleks sayılar için
    ζ(s) = 1 + 1/2s + 1/3s + 1/4s + …
    [​IMG] biçiminde belirtilen ve Riemann Zeta Fonksiyonu olarak bilinen fonksiyonun davranışına çok bağlı olduğunu gözlemledi. Riemann hipotezinin iddiasına göre
    ζ(s) = 0
    denkleminin tüm çözümleri düz bir çizgi üzerinde yer almaktadır. Yani bu denkleminin tüm komplex çözümlerinin reel kısımlarının 1/2 olduğu tahmin edilmektedir. Bu iddia ilk 1.500.000.000 çözüm için test edilmiştir. Bu iddianın her çözüm için doğru olduğunun ispatlanabilmesi halinde asal sayıların dağılımı ile ilgili çok önemli bilgiler edinmek mümkün olacaktır.


    3-Goldbach Hipotezi

    Sayılar teorisindeki en eski Matematikte çözümsüz problemlerden biridir. Sanı: Goldbach’ın orijinal sanısı (üçül varsayım) Euler’e 7 Haziran 1742′de yazdığı mektupta şöyle ifade ediliyor:

    …En azından 2′den büyük her sayı üç asal sayının toplamıdır…

    Goldbach burada 1 sayısını da asal kabul etmektedir. (Bu konvansiyon artık terkedilmiştir.) (1 sayısı niçin asal değildir?: Çünkü bir asal sayı başka bir asal sayıyı asla tam bölmez. Oysa 1 sayısı diğer asalları da tam böler.)
    Kuvvetli ikil varsayım, 3′ten büyük her çift doğal sayının iki asal sayının toplamı olarak ifade edilebileceğini öne sürer. Faber and Faber adlı yayın şirketi bu sanının doğru olduğunu 20 Mart 2000 ve 20 Mart 2002 arasındaki 2 yıllık sürede kanıtlayabilecek ilk kişiye 1.000.000 Amerıkan doları ödül vaadetmiştir, fakat sanı halen ispatsız olduğu üzere bu ödülü de kazanan olmamıştır.

    İkil sanı şöyledir:

    [​IMG] ve [​IMG] için olacak şekilde [​IMG] ve [​IMG] asal sayıları vardır. ([​IMG]olabilir)

    Her[​IMG]bir Goldbach bölüntüsü olarak adlandırılır. Daha zayıf olan ikinci sanı sadece 8′den büyük olan her tek doğal sayının en az 3 asal sayının toplamı olduğudur. Erdös ve Moser ve ‘nin asal olma koşulunu kaldırarak bu sanının daha genel anlamda doğru olup olmadığını araştırmışlardır.

     



  2. Cevap: Önemli matematik kuramları nelerdir

    4-Cantor’un Köşegen Yöntemi

    Georg Cantor’un doğal sayılar ile reel sayıların birebir eşlemesinin yapılamayacağını göstermek için geliştirdiği yöntem. Böyle bir eşlemenin yokluğu sonsuz elemanlı kümelerin büyüklüklerinin karşılaştırılması kavramının gelişimi açısından son derece önemlidir.

    Büyüklük

    Verilen bir A kümesinin en az B kümesi kadar büyük olması B’den A’ya bir birebir fonksiyonun var olması şeklinde tanımlanır ( [​IMG]yazılır). Böylelikle B’nin bir kopyasının A’nın içersinde bulunabiliyor olması sağlanır. Eğer aynı şekilde B’den de A’ya bir birebir fonksiyon varsa o zaman bu iki küme eşit büyüklükte denir ([​IMG] yazılır).

    Örnek olarak Çift Tam Sayılar Kümesi’nin ([​IMG]) ile Tam Sayılar Kümesi [​IMG]düşünülebilir.[​IMG] ‘nin elemanları [​IMG]‘nin içersinde kendi kendilerine gönderilir.

    İspat

    Reel sayıların sonlu veya sonsuz uzunlukta ondalık sayılar olarak yazılabileceği bilinir. Diyelim ki Cantor’un iddiası yanlış ve de reel sayılarla doğal sayılar birebir eşlenebiliyor. O zaman sadece 0 la 1 arasındaki reel sayılarla (bütün) doğal sayıları birebir eşlemek de mümkündür. Böyle bir eşlemeyi alalım ve 0 la 1 arasındaki reel sayıları verilen eşlemeye göre sıralayarak bir liste elde edelim. Şimdi 0 la 1 arasında öyle bir reel sayı kurgulayacağız ki bu sayının bu listede yer alması mümkün olmayacak. Bu sayıya C adını verelim ve onu şu kurala göre oluşturalım: birinci sayının ilk ondalık basamağına bakalım ve buradaki rakamdan farklı herhangi bir rakamı seçip C sayısının ilk basamağı olarak yazalım, aynı şekilde C’nin ikinci, üçüncü,… basamaklarını da oluşturalım. Mesela eğer 0 la 1 arasındaki reel sayılar aşağıdaki gibi sıralanmışsa:
    1) 0,13567…….
    ^
    2) 0,25678…….
    ^
    3) 0,00212…….
    ^
    4) 0,14221…….
    ^
    .

    C sayısının ilk basamağını 1′den farklı, 2. basamağını 5′ten farklı, 3. basamağını 2′den farklı, 4. basamağını gene 2′den farklı birer rakam olarak seçeriz.
    Bu noktada fark etmemiz gereken şey, C’nin kendisi bir reel sayı olduğu halde bu listede yer alan her sayıdan en az bir ondalık basamakta (daha doğrusu o sayı listemizde kaçıncı sırada yer alıyorsa o basamakta) farklı olduğu ve dolayısıyla bu listede yer alamayacağı. Demek ki varsaydığımız birebir eşleme mümkün değil ve aslında reel sayılar kümesindeki eleman sayısı doğal sayılar kümesindeki eleman sayısından daha fazla.

    5-Pisagor Teoremi

    Pisagor teoremine göre bir diküçgende dik kenarların karelerinin toplamları hipotenüsün karesine eşittir.
    Bunun ispatı şuna dayanmaktadır:
    c2 = a2 + b2 c uzunluğu hipotenüstür. a ve b uzunlukları ise dik kenarlardır. Her kenardan birer kare oluşturulur. bu karelerin alanları, kare alan formülüne dayalı olarak a2,b2,c2 şeklinde sıralanır. böylece üç karenin köşelerinin birleşiminden oluşan bir dik üçgen oluşturulur. Oluşan üçgenin dik köşesinden hipotenüsün oluşturduğu karenin, hipotenüse paralel olan kenara indirilen dikme ile üçgen içerisinde öklid bağıntısı kurulur. (öklid bağıntısı benzerlikten ispatlanabilmektedir.) Öklide göre
    a2 = p(p + q)
    yani, dik kenarlardan birinin karesi, dik açıdan hipotenüse indirilen dikmenin ayırdığı parçalardan kendisine komşu olan tarafın uzunluğu ile hipotenüsün tamamının çarpımına eşittir. Bu durumda
    a2 = p.c
    olacaktır. Yani a kenarına ait karenin alanı, hipotenüse ait alanın dik açıdan indirilen dikmeyle ikiye ayırdığı alanlardan kendisine komşu olan alana eşit olacaktır. Bu durumu diğer kenar için de düşünürüz.

    a2 = p.(p + q)b2 = q.(p + q)
    p + q = c
    a2 = p.c,b2 = q.c olacaktır. Bunu takiben,

    a2 + b2 = p.c + q.c
    a2 + b2 = c.(p + q)
    p + q = c
    a2 + b2 = c.c
    a2 + b2 = c2

    olacaktır.
    Matematikte, Pisagor Teoremi, Öklid geometrisinde bir dik üçgenin 3 kenarı için bir bağıntıdır. Bilinen en eski matematiksel teoremlerden biridir. Teorem sonradan İÖ 6. YY’da Yunan filozof ve matematikçi Pisagor’a atfen isimlendirilmiş ise de, Hindu, Yunan, Çnli ve Babilli matematikçiler teoremin unsurlarını, o yaşamadan önce bilmekteydiler.
    Pisagor teoreminin bilinen ilk ispatı Öklid’in Elementler eserinde bulunabilir.
    [​IMG]
    Pisagor teoreminin animasyonlu geometrik
    [​IMG]
    Pisagor bağıntısı görsel açıklaması

    Sayısal Örnek ve Tarihte Kullanılışı

    En yaygin olarak karşılaşılan örneklerden biri “3-4-5″ üçgenidir. (32 + 42 = 52)
    Bu, komşu kenarları sırasıyla 3 birim, 4 birim ve karşı kenarı 5 birim olan bir dik üçgeni temsil eder.
    Diğer örnekleri ise 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25, 9-40-41 …
    Aslında köklü uzunluğu olmayan bir dik üçgen elde etmek için formul vardır:
    Pisagor teoremi bir dik açı oluşturmak için kullanılabilir. Şöyle ki:
    1) Yeterli uzunlukta bir halatı(ya da ipliği) eşit 12 parçaya ayıracak şekilde işaretleyin.
    2) Bu işaretlerden 3üncü ve 5inci(3+5) noktalari sabitleyip, ipin acikta kalan iki ucunu (gergin olacak şekilde) birleştirin.
    3) 3üncü işaretin bulundugu noktada bir dik açı elde edersiniz.
    Bu yöntemin gecmişte tarım alanlarının paylaşılması, arazi sınırlarının belirlenmesi gibi alanlarda kullanıldıgı bilinmektedir..
    Kaynak: wikipedia