Modüler Aritmetik Hakkında Bilgi

'Ders notları' forumunda Violet tarafından 20 Şubat 2011 tarihinde açılan konu


  1. Modüler Aritmetik Hakkında Bilgi
    Modüler Aritmetik ile ilgili dersler - Modüler Aritmetik Özellikleri - Lys Modüler Aritmetik Dersleri - Modüler Aritmetik Çözümü


    A TANIM

    Herhangi bir A kümesinden A kümesine tanımlanan her fonksiyona birli işlem denir

    A Ì B olmak üzere, A x A kümesinden B kümesine tanımlanan her fonksiyona ikili işlem veya kısaca işlem denir
    İşemler; + , – , : , x, D ,o,¨ , *, « gibi simgelerle gösterilir

    B İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ

    A kümesinde D ve * işlemleri tanımlanmış olsun Buna göre, aşağıdaki 7 özelliği inceleyelim

    1 Kapalılık Özelliği

    " a, b Î A için aDb nin sonucu A kümesinin bir elemanı ise, A kümesi Dişlemine göre kapalıdır

    2 Değişme Özelliği

    " a, b Î A için, aD b = bD a ise, Dişleminin değişme özelliği vardır

    3 Birleşme Özelliği

    " a, b, c Î A için aD (bD c) = (Da b) Dc ise,D işleminin birleşme özelliği vardır

    4 Birim (Etkisiz) Eleman Özelliği

    " x Î A için, xD e = e Dx = x ise, e ye Dişleminin etkisiz elemanı denir

    e Î A ise,D işlemine göre A kümesi birim eleman özelliğine sahiptir

    5 Ters Eleman Özelliği

    Dişleminin etkisiz elemanı e olsun

    " a Î A için, aD b = bD a = e olacak biçimde bir b varsa b elemanına işlemine göre a nın tersi denir

    a nın tersi b ise genellikle b = a–1 biçiminde gösterilir

    b Î A ise,D xişlemine göre A kümesi ters eleman özelliğine sahiptir

    * Birim elemanın tersi kendisine eşittir
    * Tersi kendisine eşit olan her eleman birim eleman olmayabilir



    6 Dağılma Özelliği

    " a, b, c Î A için,

    a * (bD c) = (a * b)D(a* c) ise,

    * işlemininDişlemi üzerinde soldan dağılma özelliği vardır

    (aD b) * c = (a * c)D(b * c) ise,

    * işleminin işlemi üzerinde sağdan dağılma özelliği vardır
    * işleminin D işlemi üzerinde; hem soldan, hem de sağdan dağılma özelliği varsa * işleminin D işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır



    7 Yutan Eleman Özelliği

    " x Î A için, xDi y = yDx = y olacak biçimde bir y varsa y ye Diişleminin yutan elemanı denir

    y Î A ise,D işlemine göre A kümesi yutan eleman özelliğine sahiptir

    Yutan elemanın tersi yoktur Fakat tersi olmayan her eleman yutan eleman değildir

    C TABLO İLE TANIMLANMIŞ İŞLEMLER

    A = {a, b, c, d} kümesinde *¶ işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmış olsun



    [​IMG]




    Ü b * c nin sonucu bulunurken, başlangıç sütununda b, başlangıç satırında c bulunur Bunların kesiştiği bölgedeki eleman, b *c nin sonucudur Buna göre, b * c = a dır

    Ü Başlangıç satırındaki ve başlangıç sütunundaki elemanların sonuçlarının görüldüğü kısımda A kümesine ait olmayan eleman yoksa A kümesi * işlemine göre kapalıdır

    Ü Sonuçlar kısmı, köşegene göre simetrik ise, * işleminin değişme özelliği vardır

    Ü Tablonun sonuçlar kısmında başlangıç sütununun ve başlangıç satırının görüldüğü sütunun ve satırın kesişimin deki eleman etkisiz elemandır

    Ü Yutan eleman hangi elemanla işleme girerse girsin, sonuç kendisine eşit olur Bunun için, tablonun sonuçlar kısmında aynı elemandan oluşan satır ve sütun belirlenir Bulunan yutan elemandır



    D
    MATEMATİK SİSTEMLER



    1 Tanım

    A, boş olmayan bir küme olmak üzere, * işlemi A da tanımlı olsun

    (A, *) ikilisine matematik sistem denir

    2 Grup

    A ¹ Æ olmak üzere, A kümesinde tanımlı * işlemi aşağıdaki dört koşulu sağlıyorsa, A kümesi* işlemine göre bir gruptur

    1 A, * işlemine göre kapalıdır
    2 A üzerinde * işleminin birleşme özelliği vardır
    3 A üzerinde * işleminin birim (etkisiz) elemanı vardır
    4 A üzerinde *işlemine göre her elemanın tersi vardır

    A üzerinde tanımlı * işleminin değişme özelliği de varsa (A,*) sistemi değişmeli gruptur

    3 Halka

    A ¹ Æ olmak üzere, A kümesi üzerinde tanımlı D ve * işlemleri aşağıdaki üç koşulu sağlıyorsa (A, D, *) sistemi bir halkadır

    1 (A, D) sistemi değişmeli gruptur
    2 A kümesi*işlemine göre kapalıdır
    3 *işleminin D işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır

    Ü * işleminin değişme özelliği de varsa (A, D, *) sistemi değişmeli halkadır

    Ü * işleminin A kümesinde birim (etkisiz) elemanı da varsa (A, D, *) sistemine birim halka denir








    ---------------------------------