Karmaşık Sayılar konu anlatımı

'Ders notları' forumunda Aysell tarafından 20 Kasım 2009 tarihinde açılan konu


  1. karmaşık sayılar soruları


    KARMAŞIK(KOMPLEKS) SAYILAR


    ax² + bx + c = 0 denkleminin Δ < 0 iken reel kökünün olmadığını daha önceden biliyoruz. Örneğin, x² + 1 = 0 denkleminin reel kökü yoktur. Çünkü,( x² + 1 = 0 Þ x² = -1 ) karesi –1 olan reel sayı yoktur.

    Şimdi, bu türden denklemlerin çözümünü mümkün kılan ve reel sayılar kümesini de kapsayan yeni bir küme tanımlayacağız...

    1. TANIM:

    a ve b birer reel sayı ve i = Ö-1 olmak üzere, z = a + bi şeklinde ifade edilen z sayına Karmaşık ( Kompleks ) Sayı denir. Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir.

    C = { z : z = a + bi ; a, b Î R ve Ö-1 = i } dir.

    ( i = Ö-1 Þ i² = -1 dir.)

    z = a + bi karmaşık sayısında a ya karmaşık sayının reel ( gerçel ) kısmı, b ye karmaşık sayını imajiner (sanal) kısmı denir ve Re(z) = a, İm(z) = b şeklinde gösterilir.

    Örnek:

    Z1 = 3 + 4i, Z2 = 2 – 3i, Z3 = Ö3 + i, Z4 = 7, Z5 = 10i sayıları birer karmaşık sayıdır.

    Z1 karmaşık sayısının reel kısmı 3, imajiner kısmı 4 tür.

    Z2 = 2 - 3i Þ Re(Z2) = 2 ve İm(Z2) = -3,

    Z3 = Ö3 + i Þ Re(Z3) = Ö3 ve İm(Z3) = 1,

    Z4 = 7 Þ Re(Z4) = 7 ve İm(Z4) = 0,

    Z5 = 10i Þ Re(Z5) = 0 ve İm(Z5) = 10 dur.

    Örnek:

    x² - 2x + 5 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.

    Çözüm:

    Verilen denklemde a = 1, b = -2, c = 5 tir.

    Δ = b² - 4ac = ( -2) ² - 4.1.5 = -16 = 16.i²

    X1,2 = -b ± ÖΔ = -(-2) ± Ö16i² = 2 ± 4i = 1 ± 2i dir.

    2a 2.1 2

    Ç = { 1 – 2i, 1 + 2i } dir.







    2. İ ‘NİN KUVVETLERİ



    iº = 1, i¹ = i, i² = -1, i³ = -i, i4 = 1, i5 = i, ...

    Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, -1, - i, değerlerinden birine eşit olmaktadır.

    Buna göre , n Î N olmak üzere,

    i4n = 1

    i4n + 1 = i

    i4n + 2 = -1

    i4n + 3 = -i dir.

    Örnek:

    ( i14 + i15 + 1 ).( i99 + i100 – 1) işleminin sonucunu bulalım.

    Çözüm:

    i14 = (i4)3.i2 = 13.(-1) = -1

    i15 = (i4)3.i3 = 13.(-i) = -i

    i99 = (i4)24 .i 3 = 124.(-i) = -i

    i100 = (i4)25 = 125 = 1 olduğu için,

    (i24 + i15 + 1).(i99 + i100 – 1) = (-1 – i + 1).(-i + 1 – 1) = (-i) (-i) = i2 = - 1 dir.

    C. İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ

    Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı eşittir.

    Z1 = a + bi } olsun. Z1 =Z2 ↔ (a = c ve b = d) dir.

    Z2 = c + di }








    Örnek:

    Z1 = a + 3 + 2bi + 3i

    Z 2 = 8 + (a + b)i

    Z1 = Z2 olduğuna göre, b değerini bulalım.

    Çözüm:

    Z1= (a + 3) + (2b + 3)i, Z2 = 8 + (a + b)i ve Z1 = Z2 olduğundan,

    a + 3 = 8 Þ a = 5

    2b + 3 = a + b Þ 2b + 3 = 5 + b Þ b = 2 dir.

    Örnek:

    Z1 = (a + b + 3) + (a – 2)i

    Z2 = 0

    Z1 = Z2 olduğuna göre, a.b değerini bulalım.


    Çözüm:

    Z1 = Z2 olduğundan,

    a – 2 = 0 Þ a =2,

    a + b + 3 = 0 Þ 2 + b + 3 = 0 Þ b = -5 tir.

    O halde, a.b = 2.(-5) = -10 dur.
    D. BİR KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ


    _

    Z = a + bi karmaşık sayı ise Z = a – bi sayısına Z karmaşık sayısının eşleniği denir.


    Örnek:

    _

    1) Z1 = 4 + 3i sayısının eşleniği Z1 = 4 - 3i,

    _

    2) Z2 = Ö2 - Ö3i sayısının eşleniği Z2 = Ö2 + Ö3i,

    _

    3) Z3 = -7i sayısının eşleniği Z3 = 7i,

    _

    4) Z4 = 12 sayısının eşleniği Z4 = 12,

    _

    5) Z5 = Ö3 - Ö2 sayısının eşleniği Z5 = Ö3 - Ö2 dir.

    Örnek:

    Z = a + bi olmak üzere,

    _

    3 . Z – 1 = 2(4 – i)

    olduğuna göre, a + b toplamını bulalım.

    Çözüm:

    _

    3 . Z – 1 = 2(4 – i)

    3 . (a – bi) – 1 = 8 – 2i

    3a – 1 – 3bi = 8 – 2i

    olduğundan, 3a –1 = 8 ve -3b = -2 dir.

    3a – 1 = 8 Þ 3a = 9 Þ a = 3 ve

    -3b = -2 Þ b = 2/3 tür.

    O halde, a + b = 3 + 2/3 = 11/3

    Not:
    __ 1) Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisine eşittir ( ( z) = z )

    .

    2) Reel katsayılı ikinci dereceden ax2 + bx + c = 0 denkleminin köklerinden biri Z = m + ni

    _

    karmaşık sayısı ise diğeri bu kökün eşleniği olan Z = m – ni sayısıdır.
    E. KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM


    1) Toplama - Çıkarma



    Karmaşık sayılar toplanırken ( ya da çıkarılırken ) reel ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır ( ya da çıkarılır ).
    Z1 = a + bi Z1 + Z2 = ( a + c ) + ( b + di )

    Þ

    Z2 = c + di Z1 – Z2 = ( a – c ) + ( b – di )


    Örnek:

    Z1 = 2 – 10i ve Z2 = 8 + 3i olduğuna göre,

    Z1 + Z2 = ( 2 – 10i) + ( 8 + 3i )

    = ( 2 + 8 ) + ( -10 + 3 )i

    = 10 – 7i

    Z1 – Z2 = ( 2 – 10i ) – ( 8 + 3i)

    = ( 2 – 8 ) + ( -10 – 3 )i

    = -6 – 13i

    2) Çarpma:

    Karmaşık sayılarda çarpma işlemi, i2 = -1 olduğu göz önüne alınarak, reel sayılardakine benzer şekilde yapılır.

    Z1 = a + bi ve Z2 = c + di olsun.

    Z1 . Z2 = ( a + bi ).( c + di)


    = a.c + a.di + bi.c + b.di2 , ( i2 = -1 )

    = ac – bd + ( ad + bc )i

    Z1 . Z2 = ( ac – bd ) + ( ad + bc )i

    _ _

    Z1 . Z1 = ( a + bi).( a – bi ) Þ Z1 . Z1 = a2 + b2 dir.


    Örnek:

    Z1 = 2 – i ve Z2 = 3 + 2i olsun.

    1. Z1 . Z2

    _

    b) Z1 . Z1



    c) (Z2)2 işlemlerini yapalım.

    Çözüm:

    a) Z1 . Z2 =( 2 – i ) .( 3 + 2i)


    = 6 + 4i – 3i – 2i2

    = 6 – 2.( -1 ) + ( 4 – 3)i

    = 8 + i dir.

    b) Z1 . Z1 = ( 2 – i ).( 2 + i )

    = 22 – i2

    = 4 – ( -1)

    = 5 tir.

    c) ( Z2 )2 = ( 3 + 2i )2

    = 32 + 2.3.2i + (2i)2

    = 9 + 12i – 4

    = 5 + 12i dir.

    Örnek:

    ( -1 – i )2 = ( 1 + i )2 = 12 + 2.1.i + i2 = 2i,

    ( 1 – i )2 = ( -1 + i )2 = ( -1 )2 + 2.( -1 ).i + i2 = -2i,

    ( 1 + i )10 =( ( 1 + i )2 )5 = ( 2i )5 = 25.i = 32.i,

    ( 1 – i )20 = ( ( 1 – i )2 )10 = ( -2i )10 = 210.i2 = -210

    3) Bölme:

    Karmaşık sayılarda bölme işlemi, paydanın eşleniği ile pay ve paydanın çarpılması ile sonuçlandırılır.

    Z1 = a + bi ve Z2 = c + di olsun.


    Z1 a + bi ( a + bi ).( c – di ) ( ac + bd ) + ( bc – ad )i

    ¾¾ = ¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾

    Z2 c + di ( c + di ).( c – di ) c2 + d2










    Örnek:

    Z1 = 4 – 3i ve Z2 = 1 – 2i olsun.

    Z1 4 – 3i ( 4 – 3i ).( 1 + 2i ) 4 + 8i – 3i – 6i2 10 + 5i

    ¾¾ = ¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾ = 2 + i dir.

    Z2 1 – 2i ( 1 – 2i ).( 1 + 2i ) 12 + 22 5








    Not:

    1) Z = a + bi sayısının, toplama işlemine göre tersi, -Z = -a – bi,

    çarpma işlemine göre tersi,



    1 1 a – bi

    ¾¾¾ = ¾¾¾¾ = ¾¾¾¾ dir.

    Z a + bi a2 + b2

    _ _

    2) Z1 . Z2 Z1 . Z2

    ¾¾¾¾ = ¾¾¾¾

    Z3 z3


    Örnek:

    3 – 4i karmaşık sayısının çarpma işlemine göre tersinin imajiner ( sanal ) kısmını bulalım.

    Çözüm:

    3 – 4i sayısının çarpma işlemine göre tersi,

    1 3 + 4i 3 + 4i 3 4 4

    ¾¾¾ = ¾¾¾¾ = ¾¾¾ = ¾ + ¾ i olduğuna için imajiner kısmı ¾ tir.

    3 – 4i 32 + 42 25 25 25 25




    Örnek:

    1 + 2i 1 – 2i

    ¾¾¾ + ¾¾¾ işleminin sonucunu bulalım.

    1 – i 1 + i

    Çözüm:

    1 + 2i 1 – 2i ( 1 + 2i ).( 1 +i ) ( 1 – 2i ).( 1 – i )

    ¾¾¾ + ¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾ + ¾¾¾¾¾¾¾¾

    1 – i 1 + i 12 + 12 12 + 12

    ( 1 + i ) ( 1 – i )

    1 + i + 2i + 2i2 1-i –2i + 2i2 1 + 3i – 2 + 1 – 3i - 2

    = ¾¾¾¾¾¾ + ¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾

    2 2 2



    ( 1 – 2 + 1 – 2 ) + ( 3 – 3 )i -2 + 0.i

    = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾ = -1 dir.

    2. 2




    Örnek:

    1 – i 40

    ¾¾¾ işleminin sonucunu bulalım.

    1 + i


    Çözüm:

    1 – i ( 1 – i )2 -2i 1 - i 40

    ¾¾¾ = ¾¾¾¾ = ¾¾ = -i olduğundan, ¾¾¾ = ( -i )40 = 1 dir.

    1 + i 12 + 12 2 1 + i

    F. KARMAŞIK DÜZLEM VE BİR KARMAŞIK SAYININ

    GÖRÜNTÜSÜ

    1) İki boyutlu analitik düzlemdeki x ekseninin reel eksen, y ekseninin imajiner eksen alınmasıyla oluşturulan düzleme karmaşık düzlem denir.

    2) Z = a + bi karmaşık sayısının karmaşık düzlemdeki görüntüsü M(a,b) noktasıdır.

    3) Z = a + bi karmaşık sayısının iki boyutlu vektör uzayındaki görüntüsü M = (a,b) olmak üzere OM vektörüdür.

    Örnek:

    Z = 1 + 2i karmaşık sayısını,

    1. Karmaşık düzlemde
    2. Vektör uzayında gösterelim.



    Çözüm:

    1) imajiner eksen 2)

    Z = 1 + 2i

    2 Z = 1 + 2i 2 M(1,2)



    0 ree eksen 0

    1 1
     



  2. Cevap: Karmaşık Sayılar

    G. BİR KARMAŞIK SAYININ MUTLAK DEĞERİ ( MODÜLÜ )

    Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen y

    noktanın, başlangıç noktasına uzaklığına bu sayının b z = a + bi

    ½z½

    mutlak değeri ( modülü ) denir ve ½Z½ şeklinde gösterilir. x

    a
    Z = a + bi Þ ½Z½= Ö a2 + b2 dir.


    Örnek:

    Z = 5 + 12i

    karmaşık sayısının mutlak değerini bulmak bularak karmaşık düzlemde gösterelim.

    Çözüm:

    12 Z = 5 + 12i

    Z = 5 + 12i Þ ½Z½

    ½Z½ = Ö 52 + 122

    = 13 tür. 0

    5

    Örnek:

    Z = ( a + 2 ) + 3i

    ½Z½ = 5 olduğuna göre, a nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

    Çözüm:

    ____________

    ½Z½= 5 Þ Ö( a + 2 )2 + 32 = 5 Þ ( a + 2 )2 + 32 = 52 Þ ( a + 2 )2 = 16

    olduğundan, a + 2 = 4 veya a + 2 = -4 tür.

    a + 2 = 4 Þ a = 2 veya

    a nın alabileceği değerlerin toplamı 2 + (-6) = -4 tür.

    a + 2 = -4 Þ a = -6 dır.










    H. MUTLAK DEĞERLE İLGİLİ ÖZELLİKLER
    _ _ _
    1) ½Z½= ½-Z½=½ Z½=½-Z½=½i.Z½=½-i.Z½=...


    2) ½Z1.Z2½= ½Z1½.½Z2½

    3) Z1 ½Z1½

    ¾¾ = ¾¾ , ( Z2 ≠ 0)
    Z2 ½Z2½


    4) ½Zn½ = ½Z½n

    _

    5) Z . Z = ½Z½2

    6) ½½Z1½ - ½Z2½½ < ½Z1 ± Z2½ < ½Z1½ + ½Z2½

    Örnek:

    3 – 3i

    Z = ¾¾¾¾ olduğuna göre, ½Z½ = ?
    1 + i


    Çözüm:

    3 – 3i sayısının mutlak değeri, Ö 32 + 32 = 3Ö2 dir.

    1 + i sayısının mutlak değeri, Ö12 + 12 = Ö2 dir. O halde,

    ½3 – 3i½ 3Ö2
    ½Z½ = ¾¾¾ = ¾¾ = 3 tür.
    ½1 + i½ Ö2


    Örnek:

    i2 = -1 olmak üzere,

    Z1 = 2 + ni



    Z2 = 1 + 2i

    _______

    ½Z1 + Z2½ = 5 olduğuna göre, n nin alabileceği değerlerin çarpımı ?

    Çözüm:

    Z1 + Z2 = (2 + ni) + (1 + 2i) = 3 + (n + 2)i ,

    ______

    Z1 + Z2 = 3 – (n + 2)i dir.

    ½Z1 + Z2½ = 5 Þ Ö 32 + (n + 2)2 = 5 Þ 32 + (n + 2)2 = 52 Þ (n + 2)2 = 42 olduğundan,

    n + 2 = 4 Þ n = 2 veya

    n + 2 = -4 Þ n = -6 dır. n nin alacağı değerlerin çarpımı, 2.(-6) = -12 dir.

    Örnek:

    i2 = -1 olmak üzere ,



    1 - xi

    Z = ¾¾¾¾ olduğuna göre, ½Z10½=?

    1 + xi

    Çözüm:

    ½Z10½ = ½Z½10 dur.

    1 – xi sayısının eşleniği 1 + xi olduğundan ½1 - xi½ = ½1 + xi½ dir. Buna göre,

    ½1 - xi½

    ½Z½ = ¾¾¾ = 1 ve ½Z½10 =110 = 1 dir.

    ½1 + xi½

    1) Z1 = x1 + y1i ve Z2 = x2 + y2i sayıları arasındaki uzaklık, bu sayıların karmaşık düzlemdeki görüntüleri olan noktalar arasındaki uzaklığa eşittir. Yani,


    ½Z1 – Z2½ = Ö(x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 dir.

    2) ½Z – Z0½ = r şartını sağlayan Z karmaşık sayılarının kümesi, Z0 sabit noktasına r birim uzaklıktaki noktaların kümesidir. Bu küme, merkezi Z0 ve yarıçapı r olan çemberdir.

    Örnek:

    A = Z : ½Z – 4 – 3i½ = 2, Z € C kümesini karmaşık düzlemde gösterelim.

    Çözüm:

    Z = x + yi olsun, y



    ½Z – 4 – 3i½ = 2 2 (x – 4)2 + (y – 3)2 = 4

    3

    ½ x + yi – 4 – 3i½= 2

    Ö (x – 4)2 + (y – 3)2 = 2 0 x

    4

    (x – 4)2 + (y – 3)2 = 22 bulunur.

    Yani, Z karmaşık sayıları merkezi (4,3) noktası ve yarı çapı 2 olan çemberi oluşturan noktaların kümesidir
     



  3. Cevap: Karmaşık Sayılar

    SORULAR

    1) i = Ö-1 olmak üzere



    Ö-2 . Ö-8 + 1

    ¾¾¾¾¾¾¾ işleminin sonucunu bulun.

    Ö(-3)2

    Çözüm:

    Ö-2 . Ö-8 + 1 Ö-1. Ö2. Ö-1.Ö8 + 1 i. Ö2.i.2Ö2 + 1 4.i2 + 1 -4 + 1

    ¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾ = ¾¾¾ = -1 dir.

    Ö(-3)2 ½-3½ 3 3 3

    2) i = Ö-1 olmak üzere,



    i37 – 2i-5 + i3 soncunu bulun.

    Çözüm:

    i37 = (i4)9.i1 = 19.i = i ,

    i-5 = i-5+8 = i3 = -i,

    i3 = -i olduğundan i37- 2i-5+i3 = i – 2.(-i) – i = 2i


    3) i2 = -1 olmak üzere,



    2x2 – 2x + 2

    f(x) = ¾¾¾¾¾¾ olduğuna göre f(i) = ?

    x3 + 1

    Çözüm:

    2x2 – 2x + 2

    f(x) = ¾¾¾¾¾¾ ,

    x3 + 1

    2i2 – 2i + 2 -2 – 2i + 2 -2i ( 1 + i ) -2i ( 1 + i )

    f(i) = ¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾ = 1 – i dir.

    i3 + 1 1 – i ( 1 - i ) ( 1 + i ) 2









    4) i2 = -1 olmak üzere,

    1 1

    ¾¾ + ¾¾ işleminin sonucunu bulun.

    2 – i 2 + i

    Çözüm:

    1 1 2 + i + 2 - i 4

    ¾¾ + ¾¾ =.¾¾¾¾¾ = ¾ tir.

    2 – i 2 + i 22 + 12 5

    ( 2 + i ) (2 – i)

    5) x < 0 olmak üzere,

    Z = Ö -x2 + 2x –1 + ½-x½+ 2x karmaşık sayısının reel kısmı ile sanal kısmının toplamı kaçtır?

    Çözüm:

    Z = Ö -x2 + 2x –1 + ½-x½+ 2x

    Z = Ö -1.(x –1)2 - x + 2x, (x < 0)

    Z = Ö-1 . ½x - 1½ + x

    Z = x + (1 – x)i bulunur.

    Re(Z) = x ve İm(Z) = 1 – x tir.

    Re(Z) + İm(Z) = x + 1 – x = 1


    6) i = Ö-1 olmak üzere,

    Z1 = a + i



    Z2 = 2 – i

    ______

    ½Z1 – Z2½ = 2 olduğuna göre a = ?

    Çözüm:

    Z1 – Z2 = (a + i) – (2 – i) = (a – 2) + 2i

    ______

    Z1 – Z2 = (a – 2) – 2i

    ______

    ½Z1 – Z2½= 2 Þ Ö(a – 2)2 + (-2)2 = 2 Þ (a – 2)2 + (-2)2 = 22 Þ (a – 2) 2 = 0 Þ a = 2






    7) i = Ö-1

    i + 1

    ¾¾¾ = 1 – i olduğuna göre Z2003 nedir?

    Z

    Çözüm:

    i + 1 1 + i 2i

    ¾¾¾ = 1 – i Þ Z = ¾¾ Þ Z = ¾ Þ Z = i .

    Z 1 - i 2

    (1 + i)

    Z2003 = i2003 = i3 = - i

    8) Z = x + yi olmak üzere,

    _

    (i – 1).Z +i.Z = 2 – 3i olduğuna göre, ½Z½ = ?

    Çözüm:

    _

    (i – 1).Z +i.Z = 2 – 3i Þ (i – 1)(x - yi) + (x + yi) = 2 – 3i Þ xi + y – x + yi + xi – y = 2 –3i

    Þ -x + (2x + y)i = 2 – 3i

    -x = 2 Þ x = -2 ve 2x + y = -3 Þ -4 + y = -3 Þ y = 1

    Þ Z = -2 + i ve ½Z½ = Ö5

    9) i = Ö-1 ve Z = x + yi olmak üzere,

    _

    2.½Z½ Z + Z

    ¾¾¾¾ = ¾¾¾ olduğuna göre Re(Z) – İm(Z) = ?

    Z - Z i

    Çözüm:

    _

    Z = x + yi Þ Z = x – yi

    _ _

    Z + Z = 2x ve Z – Z = 2yi

    ½Z½2 = ( Ö x2 + y2 )2 = x2 + y2

    ve Re(Z) – İm(z) = x – y .

    _

    2.½Z½ Z + Z 2.½Z½ 2x

    ¾¾¾¾ = ¾¾¾ Þ ¾¾¾¾ = ¾¾ Þ (x + y)2 = 0 Þ x – y = 0

    Z - Z i Z - Z i




    10) i = Ö-1 ve Z = x + yi olmak üzere,

    ½Z – 3i½ < ½Z + 3½ olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

    A) y < -x B) y < x C) y > x D) y > -x E) 2y > -x

    Çözüm:

    ½Z – 3i½ < ½Z + 3½

    ½x + yi – 3i½ < ½x + yi + 3½

    ½x + (y – 3)i½ < ½(x + 3) + yi½

    Öx2 + (y – 3)2 < Ö (x + 3)2 + y2

    x2 + (y – 3)2 < (x + 3)2 + y2

    x2 + y2 – 6y + 9 < x2 + 6x + 9 + y2



    -6y < 6x



    y > -x