Fonksiyonlar

'Ders çalışıyorum' forumunda Wish tarafından 2 Ekim 2008 tarihinde açılan konu


  1. A. TANIM
    A ¹ Æ ve B ¹ Æ olmak üzere, A dan B ye bir b bağıntısı verilmiş olsun. A nın her elemanı B nin elemanlarıyla en az bir kez ve en çok bir kez eşleniyorsa bu bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonlar f ile gösterilir.

    " x Î A ve y Î B olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu f : A ® B ya da x ® f(x) = y biçiminde gösterilir.



    Yukarıda A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu

    f = {(a, 1), (b, 1), (c, 2)..ç (d, 3)}

    biçiminde de gösterilir.

    Ü Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat her bağıntı fonksiyon olmayabilir.

    Ü Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir.

    Ü s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,

    A dan B ye nm tane fonksiyon tanımlanabilir.
    B den A ya mn tane fonksiyon tanımlanabilir.
    A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı 2m . n – nm dir.
    Ü Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı kesi-yorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur.

    B. FONKSİYONLARDA DÖRT İŞLEM

    f ve g birer fonksiyon olsun.

    f : A ® IR

    g : B ® IR

    olmak üzere,

    i) f ± g: A Ç B ® IR

    (f ± g)(x) = f(x) ± g(x)

    ii) f . g: A Ç B ® IR

    (f . g)(x) = f(x) . g(x)





    C. FONKSİYON ÇEŞİTLERİ

    1. Bire Bir Fonksiyon

    Bir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon bire birdir.

    " x1, x2 Î A için, f(x1) = f(x2)iken

    x1 = x2 ise f fonksiyonu bire birdir.

    Ü s(A) = m ve s(B) = n (n ³ m) olmak üzere,

    A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı





    2. Örten Fonksiyon

    Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir.

    f : A ® B

    f(A) = B ise, f örtendir.

    Ü s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı

    Ü m! = m . (m – 1) . (m – 2) ... 3 . 2 . 1 dir.



    3. İçine Fonksiyon

    Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.

    Ü İçine fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman vardır.

    Ü s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı
    mm – m! dir.



    4. Birim (Etkisiz) Fonksiyon

    Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.

    f : IR ® IR

    f(x) = x

    birim (etkisiz) fonksiyondur.

    Ü Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir.

    5. Sabit Fonksiyon

    Tanım kümesindeki bütün elemanları değer kümesindeki bir elemana eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir.

    Ü "x Î A ve c Î B için

    f : A ® B

    f(x) = c

    fonksiyonu sabit fonksiyondur.

    Ü s(A) = m, s(B) = n olmak üzere,

    A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir.



    6. Çift ve Tek Fonksiyon

    f : IR ® IR

    f(– x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur.

    f(– x) = – f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur.

    Ü Çift fonksiyonların grafikleri Oy eksenine göre simetriktir.

    Ü Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.



    D. EŞİT FONKSİYON

    f : A ® B

    g : A ® B

    "x Î A için f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir.



    E. PERMÜTASYON FONKSİYONU

    f : A ® A

    olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna permütasyon fonksiyon denir.

    A = {a, b, c} olmak üzere, f : A ® A

    f = {(a, b), (b, c), (c, a)}

    fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup





    F. TERS FONKSİYON

    f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f nin tersi olan f – 1 de fonksiyondur.



    Ü Uygun koşullarda, f(a) = b Û f – 1(b) = a dır.

    Ü f : IR ® IR, f(x) = ax + b ise, f – 1(x) = dır.

    Ü

    Ü (f – 1) – 1 = f dir.

    Ü (f – 1(x)) – 1 ¹ f(x) tir.

    Ü y = f(x) in belirttiği eğri ile y = f – 1(x) in belirttiği eğri y = x doğrusuna göre simetriktir.

    Ü B Ì IR olmak üzere,



    Ü B Ì IR olmak üzere,





    G. BİLEŞKE FONKSİYON

    1. Tanım

    f : A ® B

    g : B ® C

    olmak üzere, gof : A ® C fonksiyonuna f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur.

    (gof)(x) = g[f(x)] tir.



    2. Bileşke Fonksiyonun Özellikleri

    i) Bileşke işleminin değişme özelliği yoktur.

    fog ¹ gof

    Bazı fonksiyonlar için fog= gof olabilir. Fakat bu bileşke işleminin değişme özelliği olmadığını değiştirmez.

    ii) Bileşke işleminin birleşme özelliği vardır.

    fo(goh) = (fog)oh = fogoh

    iii) foI = Iof = f

    olduğundan I(x) = x fonksiyonu bileşke işleminin birim (etkisiz) elemanıdır.

    iv) fof – 1 = f – 1of = I

    olduğundan f nin bileşke işlemine göre tersi f – 1 dir.

    v) (fog) – 1 = g – 1of – 1 dir.
     


Benzer Konular
Yükleniyor...