Doğrunun Analitik İncelenmesi

'Sayısal Dersler' forumunda HazaN tarafından 4 Şubat 2011 tarihinde açılan konu


  1. Doğrunun analitik incelemesi konu anlatımı, doğrunun analitik incelemesi şekilli, konu anlatımı doğrunun analitik incelemesi

    [​IMG]
    * Yukarıdaki şekillerde d doğrusunun farklı durumlarına karşılık oluşan a eğim açısı gösterilmiştir.
    * Doğrunun denklemi:

    Bir doğru üzerindeki noktaların koordinatlarını veren eşitliğe doğrunun denklemi denir.

    y = mx + n

    y = mx + n eşitliğinde m: eğim, n: sabit sayıdır. ax + by + c = 0 şeklinde verilen denklemde y yalnız bırakılırsa
    [​IMG] elde edilir

    x in katsayısı [​IMG] eğimi verir.

    Öyle ise,

    ax + by + c = 0 doğrusunun eğimi [​IMG]

    Eğimi eşit olan doğrulara paralel doğrular denir. Doğruların eğimleri arasındaki bağıntıdan daha sonra bahsedeceğiz.
     



  2. Cevap: Doğrunun Analitik İncelenmesi

    2. İki Noktası Bilinen Doğrunun Eğim ve Denklemi

    a. İki noktası bilinen doğrunun eğimi
    [​IMG]
    Analitik düzlemde A(x1, y1), B(x2, y2) noktaları bilinen d doğrusu üzerinde A, B noktalarının koordinatları kullanılarak oluşturulan ABC üçgeninin A açısı ile d doğrusunun eğim açısı yöndeş açılar olduklarından eşittirler.

    Buradan
    [​IMG]

    [​IMG] olduğundan

    [​IMG] şeklinde de yazılabilir

    b. İki noktası bilinen doğrunun denklemi
    [​IMG]
    A(x1, y1), B(x2, y2) noktalarından geçen d doğrusu üzerinde doğruyu oluşturan noktaları temsil eden P(x, y) noktası alalım. Bu üç noktadan herhangi ikisini kullanarak yazacağımız eğimler eşittir. Buna göre,
    [​IMG]
    Bu eşitlik bize iki noktası bilinen doğru denklemini verir.
    [​IMG]
    şeklinde de yazılabilir. Sonuç aynıdır.

    * Orijinden yani O(0,0) noktasından geçen doğrularda x = 0 için y = 0 olacağından

    y = mx + n denklemindeki n terimi sıfır olur.

    O halde orijinden geçen doğrunun eğimi m ise denklemi
    y= mx

    Doğru denklemi ax + by + c = 0 şeklinde ise ve orijinden geçiyorsa c = 0 dır.

    Doğru denklemi ax + by = 0 olur.
     



  3. Cevap: Doğrunun Analitik İncelenmesi

    3. Bir Noktası ve Eğimi Bilinen Doğrunun Denklemi
    A(x1, y1) noktasından geçen ve eğimi m olan doğru denklemi [​IMG]

    A(x1, y1) noktası ve P(x, y) noktası kullanılarak yazılan eğim değeri verilen eğime eşitlenir.

    4. Eksenlere Paralel Doğruların Denklemi

    a. Eksen doğruları

    [​IMG]
    Analitik düzlemde x (apsis) ekseninde bütün noktaların y si (ordinatı) sıfır olduğundan x ekseni aynı zamanda y = 0 doğrusudur.

    y (ordinat) ekseni de x = 0 doğrusudur.


    b. x eksenine paralel doğrular
    y = k doğrusu; y eksenini k noktasında keser, x eksenine paralel ve y eksenine diktir.
    [​IMG]

    c. y eksenine paralel doğrular
    [​IMG]
    x = k doğrusu;

    x eksenini k noktasında keser, y eksenine paralel ve x eksenine diktir.
     



  4. Cevap: Doğrunun Analitik İncelenmesi

    5. Eksenleri Kestiği Noktaları Bilinen Doğruların Denklemi
    [​IMG]
    x eksenini a noktasında y eksenini de b noktasında kesen doğrunun denklemi

    [​IMG]
    Doğru (a, 0) ve (0, b) noktalarından geçtiğine göre, doğrunun denklemi iki noktadan geçen doğru denklemi özelliği kullanılarak da yazılabilir.


    [​IMG]
    * Dik koordinat sisteminde apsisleri ordinatlarına eşit olan noktaların oluşturduğu doğruya
    y=x doğrusu denir.


    [​IMG]

    * Dik koordinat sisteminde apsisleri ile ordinatları birbirinin ters işaretlisi olan noktaların oluşturduğu doğruya
    y= -x doğrusu denir.


    [​IMG]
    * y = x ve y = –x doğruları aynı zamanda koordinat eksenlerinin açıortaylarıdır. Koordinat eksenleri ile yaptıkları açılar 45° dir.

    6. Doğruların Grafikleri

    Doğruların grafiklerini çizmek için x ve y eksenlerini kestikleri noktalar bulunur.

    x eksenini kestiği nokta için y = 0 ve y eksenini kestiği nokta için x = 0 değerleri alınır.