Doğal sayılar nelerdir - Doğal Sayı

'Ders notları' forumunda Violet tarafından 20 Şubat 2011 tarihinde açılan konu


  1. Doğal sayılar nelerdir - Doğal Sayı
    Dogal sayı Nedir
    Hangi sayılar Doğal Sayıdır
    Doğal Sayılar

    Doğal sayılar {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, } şeklinde sıralanan tam sayılardır Bazı kaynaklarda "0" doğal sayı olarak alınmaz Ancak eğer cebirsel inşâlar yapılmak isteniyorsa "0" sayısının doğal sayı olarak alınması avantaj sağlayabilir

    Sayı değeri

    Bir doğal sayının rakamlarının belirttiği değere rakamların sayı değeri denir Doğal sayının rakamlarının toplamına rakamların sayı değerleri toplamı denir

    Basamak değeri

    9 basamaklı bir doğal sayının basamaklarının değerleri :

    � Birler basamağının basamak değeri : 1
    � Onlar basamağının basamak değeri : 10
    � Yüzler basamağının basamak değeri : 100
    � Binler basamağının basamak değeri : 1000
    � On binler basamağının basamak değeri : 10000
    � Yüz binler basamağının basamak değeri : 100000
    � Milyonlar basamağının basamak değeri : 1000000
    � On milyonlar basamağının basamak değeri : 10000000
    � Yüz milyonlar basamağının basamak değeri : 100000000

    Onlu sayma düzeninde bir basamağın değeri sağındaki basamağın 10 katıdır
    Bir rakamın basamak değeri o rakam ile rakamın yazıldığı basamağın değeri çarpılarak bulunur

    Doğal sayıların yapımı
    Peano Belitleri tanımı
    Peano belitleri tarihsel olarak doğal sayıların en genel (ve sezgisel) tanımıdır Modern tanımlar bu tanımı sağlar
    � Sıfır bir doğal sayıdır
    � Her doğal sayının, yine bir doğal sayı olan bir ardılı vardır
    � Ardılı sıfır olan hiç bir doğal sayı yoktur
    � Ardılları eşit olan doğal sayılar da birbirine eşittir
    � Doğal sayılardan oluşan bir küme, sıfırı ve her doğal sayının ardılını içeriyorsa o küme doğal sayılar kümesine eşittir
    ZFC tanımı
    Zermelo-Freankel küme kuramı) doğal sayılar, von Neumann sıral sayılarıyla inşa edilebilir Buna göre her sayı temelde bir kümedir Eğer sıfır boşküme olarak tanımlanırsa ve her n sayının ardılı, n + , n {n} olarak verilirse, doğal sayılar inşa edilmiş olur


    Bu tanım doğal sayıların yinelgen bir yapıda olduğunu da belirtmiş olur Bu yinelgen tanımla sayılar,
    0={}
    1={0}
    2={0,1}
    3={0,1,2}

    n+1={0,1,,n}
    Bu tanımda iki doğal sayının eşitliği sayıların öğe sayısına dayanır
    Russell'ın farklı bir tanımı daha genel görünebilir:
    (sıfır, hiç öğesi olmayan tüm kümelerin kümesi)
    (n nin ardılı, öğe sayısı n olan tüm kümelerin kümesi)
    Ne var ki bu tanım belitsel küme kuramlarında geçerli değildir, çünkü bir sayı, küme olamayacak kadar büyük topluluklar olmak zorunda kalıyor Ancak tipler kuramı gibi kuramlarda geçerlidir
    Büyüklük ve küçüklük ilişkileri
    Doğal sayıların karşılaştırılmasına en büyük basamaktan başlanır Aynı basamakta büyük rakamı bulunan sayı diğerinden büyüktür
    İki sayının yüz milyonlar basamaklarında eşit rakamlar bulunuyor Bu nedenle karşılaştırma bir sonraki basamak olan on milyonlar basamaklarında yapılır Bu basamaklarda 9 > 8 olduğundan 894125067 > 887954700 yazılır � 894125067 büyüktür 887954700 şeklinde okunur�
    N = {0,1,2,3,4,5,} Doğal Sayılar Kümesinde; iki doğal sayının toplamı yine bir doğal sayı olur
    Doğal sayılarda işlemler
    Toplama işlemi
    Toplama işlemi ileri doğru sayma işlemidir Toplama işlemine katılan sayılara terim, işlemin sonucuna toplam denir Toplama işlemi sayıların aynı basamakları arasında yapılır Bu nedenle toplama işleminde sayılar aynı basamaklarla alt alta gelecek şekilde yazılır
    Bir a sayısını bir b sayısıyla toplamak, a sayısının b kere ardılını almak olarak tanımlanır Daha matematiksel bir tanım verilmek istenirse ard(n) gösterimi n sayısının ardılını ifâde etmek üzere, toplama aşağıdaki belitlerle tanımlanır:
    1 a + 0 = a
    2 a + ard(b) = ard(a + b)
    Bu belitlerden yola çıkarak ardıllık işlemini toplama cinsinden göstermek mümkündür: 2 belitte b=0 seçilirse
    a + ard(0) = ard(a + 0)
    sıfırın adrılı birdir, o halde,
    ard(a) = a + 1
    olduğu kolaylıkla görülür




    ------------------------