Çemberde Açı ve Uzunluk

'Sayısal Dersler' forumunda Ezlem tarafından 28 Ocak 2011 tarihinde açılan konu


  1. çemberde ortak teğet
    Çemberde Açı ve Uzunluk konu anlatımı

    * TEĞET - KİRİŞ ÖZELLİKLERİ

    1. Teğet noktasından ve çemberin merkezinden geçen doğru, teğet olan doğruya diktir.AB doğrusu T noktasında çembere teğet
    AB ^ OT Teğet doğrusuna, teğet noktasından çizilen dik doğru çemberin merkezinden geçer.

    2. Çemberin dışındaki bir noktadan çembere çizilen teğetlerin uzulukları birbirine
    eşittir.
    [PA ve [PT

    çembere teğet

    |PA| = |PB|
    [PT ve [PS çembere teğet ve O çemberin merkezi ise [PO, TPS açısının açıortayıdır.
    |OT| = |OS| ve [PT] ^ [TO], [PS] ^ [SO] olduğundan PTOS dörtgeni bir deltoid tir.

    * İçten ve dıştan teğet çemberlerde merkezleri birleştiren doğru teğet noktasından geçer.

    O1 ve O2 merkezli çemberler T noktasında dıştan teğet ise, merkezleri birleştiren doğru T noktasından geçer.
    Aynı özellik içten teğet çemberler için de geçerlidir.O1 , O2 ve T noktaları aynı doğru üzerindedir.
    3. Bir çemberin merkezinden kirişe indirilen dikme, kirişi ortalar.
    Bir çemberde, merkeze uzaklıkları eşit olan kirişlerin uzunlukları da eşittir.
    |OF|=|OE|Û |AB|=|CD|
    Bir çemberde herhangi iki kirişten merkeze yakın olanı daha büyüktür.
    |OH|<|ON|Û |AB|>|CD|
    4. Bir çemberde eşit uzunluktaki kirişlerin gördüğü yaylarda eşittir.


    5. Bir çemberde paralel iki kiriş arasında kalan yaylar eşittir.

    Bir çember içinde alınan herhangi bir P noktasından geçen en kısa kiriş, orta noktası P olan kiriştir.
    [AC] ^ [PO]

    * TEĞETLER DÖRTGENİ

    1. Bir çembere teğet dört doğru parçasının oluşturduğu dörtgene teğetler dörtgeni denir. ABCD dörtgeninde K, L, M, N teğetlerin değme noktasıdır.

    2. Teğetler dörtgeninde karşılıklı kenarların uzunlukları toplamı eşittir.

    a+c=b+d
    3. Teğetler dörtgeninin alanı; içteğet çemberin yarıçapı ile çevresinin çarpımının yarısıdır.

    * KİRİŞLER DÖRTGENİ

    Kirişler dörtgeninde karşılıklı açıların toplamının 180° dir.
    Dörtgeninin alanı;


    A(ABCD)=Ö(u - a)(u - b)(u - c)(u - d)

    KUVVET

    1. Çemberin Dışındaki Bir Noktanın Çembere Göre Kuvveti

    [PT, T noktasında çembere teğet, [PB ve [PD çemberi
    kesen ışınlar
    Kuvvet = |PT|2 = |PA| . |PB| = |PC| . |PD|
    2. Çemberin İçindeki Bir Noktanın Çembere Göre Kuvveti
    Bir çemberin içindeki bir noktada kesişen iki kiriş üzerinde, kesim noktasının ayırdığı parçaların uzunlukları çarpımı
    sabittir.
    Kuvvet = |PA| . |PB| = |PC| . |PD|

    * Çemberin üzerindeki bir noktanın çembere göre kuvveti sıfırdır

    3. İki Çemberin Kuvvet Ekseni

    Kuvvet ekseni üzerindeki noktaların her iki çembere göre kuvvetleri eşittir.
    a. Dıştan teğet iki çemberin kuvvet ekseni teğet noktasından geçer. Kuvvet ekseni çemberin merkezlerini birleştiren doğruya teğet noktasında diktir. |O1O2| = r1 + r2
    b. İçten teğet çemberlerin kuvvet ekseni teğet noktasından geçer. Kuvvet ekseni merkezlerden geçen doğruya teğet noktasında diktir. |O1O2| = r1 – r2

    c. Kesişen çemberlerde kuvvet ekseni çemberlerin kesişim noktalarından geçer ve merkezleri birleştiren doğruya diktir. |O1O2| < r1 + r2

    şekildeki P noktasının A noktasında birbirine dıştan teğet olan O1 ve O2 merkezli çemberlere uygulamış olduğu kuvvetler eşittir.
    |PB|=|PA|=|PC| Û |BA]^[AC]

    * Yarıçapları kesişim noktalarında dik olan çemberlere dik kesişen çemberler denir.

    d. Kesişmeyen çemberlerin ortak noktası yoktur. Kuvvet ekseni iki çemberin arasında ve çemberlerin merkezlerini birleştiren doğruya diktir. |O1O2| > r1 + r2

    4. Ortak Teğet Parçasının Uzunluğu

    Ortak teğet uzunluğunun bulunabilmesi için merkezlerden teğetlere dikler çizilir.
    O1O2C dik üçgeninde |CO2| = |AB|
    |AB|2 =|O1O2|2 - |r1-r2|2

    5. Bir Doğru İle Bir Çemberin Durumları

    Aynı düzlemde bulunan O merkezli r yarıçaplı bir çember ile d doğrusu üç farklı durumda bulunur.
    a. |OH| > r ise
    doğru çemberi kesmez ve doğru çemberin dışındadır.
    Çember Ç d = Æ

    b. |OH| = r ise
    doğru çemberi bir noktada keser. Yani doğru çembere teğettir.
    Çember Ç d = {H}


    c. |OH| < r ise
    doğru çemberi iki noktada keser.
    Çember Ç d = {A, B}