Altın Oranlar

'Ders notları' forumunda Aysell tarafından 15 Kasım 2009 tarihinde açılan konu


  1. Altın Oranlar

    Birbirine benzeyen iki geometrik fikirle araştırmamıza başlıyoruz: yarım daire içine çizilen dik üçgen(Thales teorisi) ve yarımdairenin yarıçapı olan √2. Şekil 5.1a. ABCD karesini alalım, karenin lineer tabanında dairesel yaylar oluşturun. Bu lineer tabanla oransal ilişkiyi elde edeceğiz. Merkezi C ve yarıçapı CA olacak şekilde EG taban çizgisini oluşturun. Aynı şekilde cd’yi kullanarak DF çizgisini oluşturun. Dik üçgen teorisini kullanarak AE ve AG’ yi bulup benzer dik üçgenleri bulunuz: ∆EDA≈∆EAG ∆ EAG ≈∆ADG ∆ ADG ≈∆EDA bu nedenle, a:b::b:c, ve eğer a = b b²=ac b c bu durumda, c=2b+a, ve a:b::2b+a. Gösterilen değerler AB=b=1 CA=√2 ED= a = √2-1 DG = c = 2-√2 Şekil 5.1b. Köşegenle bölme, bize istediğimiz ilişkiyi b değeri ile şekil 5.1a. da verdi Sonraki mantıklı adım yarım köşegeni yarıçap olarak kullanmak olacak: AX yarım köşegenini E ve F’yi işaretlemek için ABCD karesine çevir. Thales teorisine göre: a:b::b:c. c=a + b Bu nedenle, a:b::b:a+b Daha sonra bu değerleri elde ediyoruz: karenin kenarı AB = b = 1 XA= √5 ED = a = √5 - 1 DF = c = √5 + 1 = √5+1 2 2 2 2 2 2 cebirsel olarak bu değerlere bakarsak, ∆DAF ≈ ∆EAD bu nedenle a = b b a+b ve b² = a(a+b) b² = a²+ab